林德勒夫引理

在拓扑学中，林德勒夫引理（Lindelöf's lemma）所阐述的是：满足C₂公理和T₃公理的空间也满足T₄公理。

证明

取${\displaystyle X}$ 的一个可数拓扑基${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 。设${\displaystyle F}$ 和${\displaystyle F'}$ 是不相交的闭集，构造它们的不相交邻域如下：

对${\displaystyle \forall x\in F}$ ，则${\displaystyle x\notin F'}$ 。由T₃公理可知，有${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle F'}$ 的不相交邻域${\displaystyle W}$ 和${\displaystyle W'}$ ，于是${\displaystyle {\bar {W}}\cap F'=\varnothing }$ 。取${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ，使得${\displaystyle x\in B\subset W}$ ，则${\displaystyle {\bar {B}}\cap F'=\varnothing }$ 。记${\displaystyle \{B_{1},\ B_{2},\ \cdots \}}$ 是${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 中所有闭包与${\displaystyle F'}$ 不相交的成员，上面已证明${\displaystyle F\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}}$ 。记${\displaystyle \{B_{1}',\ B_{2}',\ \cdots \}}$ 是${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 中所有闭包与${\displaystyle F}$ 不相交的成员，则${\displaystyle F'\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}'}$ 。

记${\displaystyle U_{n}=B_{n}\setminus \bigcup _{i=1}^{n}{\bar {B_{i}'}}}$ ，${\displaystyle V_{n}=B_{n}'\setminus \bigcup _{i=1}^{n}{\bar {B_{i}}}\ (n=1,2,\cdots )}$ ，则${\displaystyle U_{n}}$ 和${\displaystyle V_{n}}$ 都是开集，并且${\displaystyle \forall n,m,\ U_{n}\cap V_{m}=\varnothing }$ 。令${\displaystyle U=\bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$ ，${\displaystyle V=\bigcap _{n=1}^{\infty }V_{n}}$ ，则${\displaystyle U\cap V=\bigcup _{n,m=1}^{\infty }(U_{n}\cap V_{m})=\varnothing }$ 。设${\displaystyle x\in F}$ ，则存在${\displaystyle n}$ ，使得${\displaystyle x\in B_{n}}$ ，从而${\displaystyle x\in U_{n}\subset U}$ 。因此${\displaystyle U}$ 是${\displaystyle F}$ 的开邻域，同理${\displaystyle V}$ 是${\displaystyle F'}$ 的开邻域。从而${\displaystyle U}$ 和${\displaystyle V}$ 是${\displaystyle F}$ 和${\displaystyle F'}$ 的不相交邻域，空间${\displaystyle X}$ 满足T₄公理。

参见

• 点集拓扑学
• 分离公理
• 可数性公理

参考

• 《基础拓扑学讲义》尤承业 P42、43