極限 (數列)

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極限（英語：Limit）為某些數列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。

定義

取一复数數列 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$ ，若有一複數 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$  ，使得

「对于任意的正实数 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在自然数 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  ，使得任意的自然数 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ，只要 ${\displaystyle i>n}$ ，則 ${\displaystyle |z_{i}-z|<\epsilon }$  」

用正式的邏輯語言来表示即

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists n\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )[\,(i>n)\Rightarrow (|z_{i}-z|<\epsilon )\,]}$ 

则称数列${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$ 收敛于 ${\displaystyle z}$ （convergent to ${\displaystyle z}$  ），並记作

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }z_{i}=z}$ 

如果不存在這樣的複數 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ，則稱 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$  是發散的（divergent）。

實數數列的極限

從上面的定義可以證明，對實數數列 ${\displaystyle \{z_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$  來說，若

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }z_{i}=z}$ 

則其極限 ${\displaystyle z}$  一定為实数 ，因為假設 ${\displaystyle z}$  的虛部 ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)\neq 0}$  的話，則對上面的定義取 ${\displaystyle \epsilon =|\operatorname {Im} (z)|>0}$  的話，會存在 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  ，使得任意的 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ，只要 ${\displaystyle i>n}$ 有

${\displaystyle {\sqrt {{(z_{i})}^{2}+{(\operatorname {Im} (z))}^{2}}}<|\operatorname {Im} (z)|}$ 

這是矛盾的，所以根據反證法，${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=0}$  ，即 ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$  。

基本性質

唯一性

定理 — 若數列 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$  的極限存在，則極限是唯一的。^[1]:29

證明

設數列 ${\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}$  有兩個不相等的極限值${\displaystyle z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C} }$ ，則根據假設，對任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$  ，存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$ ，使任意 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ，只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$  就有

${\displaystyle |z_{i}-z_{1}|<{\frac {\epsilon }{2}}}$ 

${\displaystyle |z_{i}-z_{2}|<{\frac {\epsilon }{2}}}$ 

這樣根據三角不等式，對任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$  ， 只要自然數 ${\displaystyle i>n}$  就有則

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|=|(z_{1}-z_{i})-(z_{2}-z_{i})|\leq |z_{1}-z_{i}|+|z_{2}-z_{i}|<\epsilon }$ 

這樣的話，假設 ${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|>0}$  會得到

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|<|z_{1}-z_{2}|}$ 

這樣是矛盾的，故根據反證法， ${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|=0}$  ，也就是 ${\displaystyle z_{1}=z_{2}}$ ，故極限唯一。${\displaystyle \Box }$ 

有界性

定理 — 若數列${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ 有極限，則存在正实数 ${\displaystyle M>0}$  ，使得對所有的自然数 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$  都有 ${\displaystyle |x_{i}|\leq M}$ 。^[1]:29-30

（即 ${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$  有極限則必為有界數列）

證明

因為${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$ 有極限，假設有实数 ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$  滿足

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}$ 

這樣的話，對於 ${\displaystyle \epsilon =1}$  ，存在自然数 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，使得任意的自然数 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ，只要 ${\displaystyle i>n}$ ，則

${\displaystyle |x_{i}-L|<\epsilon =1}$ 

從而

${\displaystyle |x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|}$ 

這樣的話，令

${\displaystyle M=\max \left(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{n}|,\ 1+|L|\right)}$ 

就會有

${\displaystyle |x_{i}|\leq M}$ 

故得証。${\displaystyle \Box }$ 

根據实质条件的意義，上面的定理等價於「如果一個實數數列無界，則這個實數數列一定發散。」^[1]:30

注意有界數列不一定有極限，如數列 ${\displaystyle 1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots }$  是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，則可以證明，數列存在極限。

保序性

定理 — 有實數數列 ${\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$  和 ${\displaystyle \{y_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }}$  ，若

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$ 

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$ 

則「${\displaystyle a>b}$  」等價於「存在${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$  只要 ${\displaystyle i>n}$  就有 ${\displaystyle x_{i}>y_{i}}$ 」。^[1]:30

證明

左至右：

取${\displaystyle \epsilon ={\frac {a-b}{2}}>0}$ ，則由前提假設，存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$  使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$  只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$  就有

${\displaystyle |x_{i}-a|<{\frac {a-b}{2}}}$ 

${\displaystyle |y_{i}-b|<{\frac {a-b}{2}}}$ 

从而

${\displaystyle y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}}$ 

故

${\displaystyle y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}}$ 

這樣取 ${\displaystyle n=\max\{n_{1},\,n_{2}\}}$  ，左至右就得證。${\displaystyle \Box }$ 

右至左：

由前提假設，對任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$  ，存在 ${\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }$  使任何 ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$  只要 ${\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2},\,n\}}$  就有

${\displaystyle \epsilon -a<x_{i}<\epsilon +a}$ 

${\displaystyle \epsilon -b<y_{i}<\epsilon +b}$ 

${\displaystyle x_{i}>y_{i}}$ 

从而

${\displaystyle 0<x_{i}-y_{i}<a-b}$ 

故得證。${\displaystyle \Box }$ 

四則運算定理

設${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$ ，${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}$ ，則

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=a\pm b}$ ；
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=a\cdot b}$ ；
3. 若${\displaystyle b\neq 0,{y_{n}}\neq 0}$ ,則${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}}$ .

審斂法

其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

柯西數列

主条目：柯西序列

参考文献列表

1. 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5.  请检查|date=中的日期值 (帮助)

參看

• 级数
• 函数极限