本迪克森-杜拉克定理

在数学裡，本迪克森-杜拉克定理说明了对于一个二维的驻定动力系统

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=X(x,y),}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=Y(x,y)}$

如果存在${\displaystyle \varphi (x,y)}$使得

${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}\neq 0}$

在研究区域（必须是单连通的）上几乎处处成立，那么这个动力系统不存在周期解。所谓“几乎处处成立”是指不成立的点的集合是一个测度为零的集合。这个定理可以用格林定理证出。

证明

运用反证法，假设研究区域为单连通的区域 ${\displaystyle D}$ ，其内存在对于动力系统：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=X(x,y),}$ 

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=Y(x,y)}$ 

的一组周期解${\displaystyle (x,y)}$ ，其周期为${\displaystyle T}$ ，那么对于

${\displaystyle \Gamma :x=x(t)\,\ y=y(t)\,\ 0\leq t\leq T}$ 

所围成的区域${\displaystyle D_{\Gamma }\subset D}$ ，有

${\displaystyle \iint _{D_{\Gamma }}\,({\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}})dx\,dy=\int _{\Gamma }\,\varphi (Xdy-Ydx)}$ 

${\displaystyle =\int _{0}^{T}\,\varphi (X{\frac {dy}{dt}}-Y{\frac {dx}{dt}})dt=\int _{0}^{T}\,\varphi (XY-YX)dt=0}$ 

但是由于使得 ${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}=0}$  的点 ${\displaystyle (x,y)}$  的集合是一个测度为零的集合，所以总可以找到 ${\displaystyle \varphi }$  使得${\displaystyle {\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}}}$ 在零点之外不变号。这样${\displaystyle \iint _{D_{\Gamma }}\,({\frac {\partial (\varphi X)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi Y)}{\partial y}})dx\,dy}$ 不可能为0，矛盾！

因此周期解不存在，定理得证。

参见

• 极限环
• 庞加莱回归

参考资料

• 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松，《常微分方程》（第三版），297页，高等教育出版社。
• MICHAL FECKAN,A GENERALIZATION OF BENDIXSON'S CRITERION，Proceedings of The

American Mathematical Society, Volume 129, Number 11, Pages 3395-3399,S 0002-9939(01)06107-X, Article electronically published on April 25, 2001[1]