最小公分母

最小公分母是一個數學用語，指許多分數分母的最小公倍數，若分數相加減或比較時，可將分數通分，使其分母為相同數值，簡化其運算過程。

在算術及代數中的角色

分數可以用不同的形式表示，只要分子和分母之間的比例維持不變，分數的數值就不會改變，因此以下的多個分數都是相等的：

${\displaystyle {\frac {2}{3}}={\frac {6}{9}}={\frac {12}{18}}={\frac {144}{216}}={\frac {200,\!000}{300,\!000}}}$ 

若數個分數的分母均相同時，要相加、相減及比較會最簡單。例如${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {6}{12}}={\frac {11}{12}}}$ 和${\displaystyle {\frac {5}{12}}<{\frac {11}{12}}}$ 都是很簡而易懂的，因為這些分數的分母相同。但${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}}$ 的數值或是${\displaystyle {\frac {5}{12}}}$ 和${\displaystyle {\frac {11}{18}}}$ 的大小就比較困難，因為其分母不同。若將各分數通分，也就是將改寫為分母為各分母公因數（公分母）的分數，即可處理此問題，其中數值最小的就是最小公分母^[1]

一組分數的最小公分母是所有分母的最小公倍數，所有分母的乘積也是公分母，例如：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}={\frac {3}{6}}+{\frac {4}{6}}={\frac {7}{6}}}$ 

不過分母的乘積不一定是最小公分母：

${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}={\frac {15}{36}}+{\frac {22}{36}}={\frac {37}{36}}}$ 

此處的最小公分母為36，其分母乘積216是公分母，但若將分數都通分為分母為216的數值，其運算過程中的數值較大：

${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}={\frac {90}{216}}+{\frac {132}{216}}={\frac {222}{216}}}$ 

若處理的是變數而不是數字，也可以用相同的方式處理^[2]：

${\displaystyle {\frac {a}{bc}}+{\frac {c}{b^{2}d}}={\frac {abd}{b^{2}cd}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}cd}}={\frac {abd+c^{2}}{b^{2}cd}}}$ 

計算最小公分母的方式和計算最小公倍數的方法相同。

相關條目

• 最大公因數
• 部分分式分解：將分式改為由多個分母為較簡單多項式分式和的形式
• 偶然對消

參考資料

1. Fractions. The World Book: Organized Knowledge in Story and Picture, Volume 3. Hanson-Roach-Fowler Company. 1918: 2285–2286. 
2. Brooks, Edward. The Normal Elementary Algebra, Part 1. C. Sower Company. 1901: 80 [7 Jan 2014].