模反元素

模逆元也称为模倒数。

一整数${\displaystyle a}$對同餘${\displaystyle n}$之模反元素是指滿足以下公式的整數${\displaystyle b}$

${\displaystyle a^{-1}\equiv b{\pmod {n}}.}$

也可以寫成

${\displaystyle ab\equiv 1{\pmod {n}}.}$

或者

${\displaystyle ab\mod {n}=1}$

整数${\displaystyle a}$對模数${\displaystyle n}$之模反元素存在的充分必要條件是${\displaystyle a}$和${\displaystyle n}$互質，若此模反元素存在，在模数${\displaystyle n}$下的除法可以用和對應模反元素的乘法來達成，此概念和實數除法的概念相同。

求模反元素

用扩展欧几里得算法

设${\displaystyle \mathrm {exgcd} (a,n)}$ 為扩展欧几里得算法的函数，則可得到${\displaystyle ax+ny=g}$ ，${\displaystyle g}$ 是${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle n}$ 的最大公因数。

若${\displaystyle g=1}$ 

则该模反元素存在，根據結果${\displaystyle ax+ny=1}$ 

在${\displaystyle {\bmod {n}}}$ 之下，${\displaystyle ax+ny\equiv ax\equiv 1}$ ，根據模反元素的定義${\displaystyle a\cdot a^{-1}\equiv 1}$ ，此時${\displaystyle x}$ 即為${\displaystyle a}$ 关于模${\displaystyle n}$ 的其中一個模反元素。

事實上，${\displaystyle x+kn(k\in \mathbb {Z} )}$  都是${\displaystyle a}$ 关于模${\displaystyle n}$ 的模反元素，這裡我們取最小的正整數解${\displaystyle x\mod n}$ （${\displaystyle x<n}$ ）。

若${\displaystyle g\neq 1}$ 

则该模反元素不存在。

因為根據結果${\displaystyle ax+ny\neq 1}$ ，在${\displaystyle {\bmod {n}}}$  之下，${\displaystyle ax\equiv g(g<n)}$ 不會同餘於${\displaystyle 1}$ ，因此滿足${\displaystyle a\cdot a^{-1}\equiv 1}$ 的${\displaystyle a^{-1}}$ 不存在。

用歐拉定理

歐拉定理證明當${\displaystyle a,n}$ 為兩個互質的正整數時，則有${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$ ，其中${\displaystyle \varphi (n)}$ 為歐拉函數（小於${\displaystyle n}$ 且與${\displaystyle n}$ 互質的正整數個數）。

上述結果可分解為${\displaystyle a^{\varphi (n)}=a\cdot a^{\varphi (n)-1}\equiv 1{\pmod {n}}}$ ，其中${\displaystyle a^{\varphi (n)-1}}$ 即為${\displaystyle a}$ 關於模${\displaystyle n}$ 之模反元素。

举例

求整数3对同余11的模逆元素${\displaystyle x}$ ,

${\displaystyle x\equiv 3^{-1}{\pmod {11}}}$ 

上述方程可变换为

${\displaystyle 3x\equiv 1{\pmod {11}}}$ 

在整数范围${\displaystyle \mathbb {Z} _{11}}$ 内，可以找到满足该同余等式的${\displaystyle x}$ 值为4，如下式所示

${\displaystyle 3(4)=12\equiv 1{\pmod {11}}}$ 

并且，在整数范围${\displaystyle \mathbb {Z} _{11}}$ 内不存在其他满足此同余等式的值。

故，整数3对同余11的模逆元素为4。

一旦在整数范围${\displaystyle \mathbb {Z} _{11}}$ 内找到3的模逆元素，其他在整数范围${\displaystyle \mathbb {Z} }$  内满足此同余等式的模逆元素值便可很容易地写出——只需加上${\displaystyle m=11}$  的倍数便可。

综上，所有整数3对同余11的模逆元素x可表示为

${\displaystyle 4+(11\cdot z),z\in \mathbb {Z} }$ 

即 {..., −18, −7, 4, 15, 26, ...}.