排中律

在逻辑中，排中律（拉丁語：tertium non datur）声称对于任何命题 ${\displaystyle P}$，${\displaystyle (P\vee \neg P)}$ 为真。

符号 '${\displaystyle \neg }$' 读作“非”，${\displaystyle \vee }$ 读作“或”，${\displaystyle \wedge }$ 读作“与”。

例如，如果 ${\displaystyle P}$ 是

“張三是秃子”

则包含式析取

“張三是秃子，或張三不是秃子”

为真。

这不完全同于二值原理，它陈述的是 P 必须要么是真要么是假。它也不同于无矛盾律，它陈述的是 ${\displaystyle \neg (P\wedge \neg P)}$ 是真。排中律只是说 ${\displaystyle (P\vee \neg P)}$ 整体是真。不提及 ${\displaystyle P}$ 自身可以采用什么真值。在任何情况下，任何二值逻辑的语义都将为 ${\displaystyle P}$ 和 ${\displaystyle \neg P}$ 指派对立的真值(就是说，如果 ${\displaystyle P}$ 是真，则 ${\displaystyle \neg P}$ 是假)，所以在二值逻辑中排中律会等价于二值原理。但是，对于非二值逻辑或多值逻辑就不能这么说。

特定的逻辑系统可能通过允许多于两个真值(比如：真、假、中；真、假、非真非假、亦真亦假)而拒绝二值原理，但接受排中律。在这种逻辑中，${\displaystyle (P\vee \neg P)}$ 可以为真，而 ${\displaystyle P}$ 和 ${\displaystyle \neg P}$ 不被分别指派为对立的真值。

一些逻辑不接受排中律，最著名的是直觉逻辑。文章《二值和有关规律》中详细地讨论了这个问题。

排中律可能被误用，导致排中律的逻辑谬论，这也叫做假两难推理。

排中律的使用例

证明: 存在无理数${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$,满足${\displaystyle a^{b}}$的值为有理数

假设 ${\displaystyle a={\sqrt {2}},b={\sqrt {2}},c=a^{b}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$

1.假设${\displaystyle c}$是有理数, 则证明成立

2.假设c是无理数, ${\displaystyle c^{\sqrt {2}}=\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2}$

(也就是说${\displaystyle a=c,b={\sqrt {2}}}$)

这里的证明需要假设${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ 不可能既不是有理数又不是无理数,换言之则假设了排中律的成立.

参见

• 歸謬法
• 反證法
• 皮尔士定律
• 直覺主義邏輯（一種不承認排中律的邏輯系統）
• 數學構成主義

外部链接

維基教科書中的相關電子教程：逻辑学导论/无矛盾律 排中律