此條目需要精通或熟悉天体力学 的编者 参与及协助编辑。(2022年1月26日 ) 請邀請 適合的人士改善本条目。更多的細節與詳情請參见討論頁 。
此條目需要补充更多来源 。(2012年11月18日 ) 请协助補充多方面可靠来源 以改善这篇条目，无法查证 的内容可能會因為异议提出 而被移除。"拉格朗日点" — 网页、新闻、书籍、学术、图像 ），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引 ）。
拉格朗日点 （Lagrangian point）又称平动 点天体力学 中是限制性三体问题 的五个特殊解（particular solution）。就平面圆型三体问题，1767年数学家 欧拉 根据旋转的二体引力场推算出其中三个点為L1 、L2 、L3 ，1772年数学家拉格朗日 推算出另外两个点（特解）為L4 、L5 。例如，两个天体环绕运行，在空间 中有五个位置可以放入第三个物体（质量 忽略不计），使其與另两个天体的相對位置保持不變。理想状态 下，两个同轨道物体以相同的周期旋转，两个天体的万有引力 在拉格朗日点平衡，使得第三个物体与前两个物体相对静止 。
绿色的点表示第三个物体与前两个物体保持相对静止的拉格朗日点。 例如黃色圓型為太陽，藍色點為地球，動畫中為約略位置，詳細位置與軌道需考慮質量比例和質心而稍異於動畫位置。 在拉格朗日点之外的其他位置，引力将牵引第三个物体进入不稳定的轨道。 兩個天體於旋轉座標系離心假想力場與重力場形成的2維位能場大小（灰色高度為位能場數值）對於拉格朗日點的視覺化說明，紫色線條為2為平面上的等位能面，因為第三個物體感受的重力方向為位能梯度方向，因此可看出五個位能梯度為０處，並且可以看出該等點於不同方向上是否穩定,此動畫也標示出了繞質心旋轉之情形[1] 位置 编辑 五个拉格朗日点之定义及位置如下：
L1 编辑 在M1 和M2 两个大天体的连线上，且在它们之间。
M 1 ( R − r ) 2 = M 2 r 2 + M 1 R 2 − r ( M 1 + M 2 ) R 3 {\displaystyle {\frac {M_{1}}{\left(R-r\right)^{2}}}={\frac {M_{2}}{r^{2}}}+{\frac {M_{1}}{R^{2}}}-{\frac {r\left(M_{1}+M_{2}\right)}{R^{3}}}} 其中：r 表示 L1 与较小的物体之间的距离，R 表示两个主要物体之间的距离，M1 和 M2 分别表示较大物体和较小物体的质量。
求解 r 需要求解五次方程 ，但是当小物体的质量（M2 ）远小于大物体的质量（M1 ）时，L1 和L2 近似于希尔球 的半径，求解如下：
r ≈ R M 2 3 M 1 3 {\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}} 例如一个围绕太阳 旋转的物体，它距太阳的距离越近，它的轨道周期就越短。但是这忽略地球 的万有引力对其产生的拉力的影响。如果这个物体在地球与太阳之间，地球引力的影响会减弱太阳对这物体的拉力，因此增加这个物体的轨道周期。物体距地球越近，这种影响就越大。在L1 点，物体的轨道周期恰好等于地球的轨道周期。
太阳及日光层探测仪 （SOHO）[2] 1 点上运行。嫦娥五号 的轨道器由于原登月任务完成后仍有充足的燃料，所以安排拓展任务，飞进到日-地系统的L1点进行进一步的太阳探测任务。
L2 编辑 在两个大天体的连线上，且在较小的天体一侧。
M 1 ( R + r ) 2 + M 2 r 2 = M 1 R 2 + r ( M 1 + M 2 ) R 3 {\displaystyle {\frac {M_{1}}{\left(R+r\right)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{r^{2}}}={\frac {M_{1}}{R^{2}}}+{\frac {r\left(M_{1}+M_{2}\right)}{R^{3}}}} 同样的，當小物体的质量（M2 ）远小于大物体的质量（M1 ）时：
r ≈ R M 2 3 M 1 3 {\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}} 日地系统 的L2 在地球远离太阳的一侧。一般来讲，一个物体距太阳的距离越远，它的轨道周期通常就越长，但L2 点上的物体还受到地球的引力，所以轨道周期变得与地球的相等。日地系统的L2 通常用于放置空间天文台。因为L2 上的物体可以保持背向太阳和地球的方位，易于保护和校准。威尔金森微波各向异性探测器 已经在日-地系统的L2 点上运行。詹姆斯韋伯太空望远镜 也在日-地系统的L2 点上。嫦娥二号 亦於2011年进入日-地系统的L2 点的环绕轨道，為从月球轨道出发進入日-地系统L2 点的首例[3]
地月系统 的L2 在月球远离地球的一侧（月球背面）。2014年中国探月工程三期再入返回飛行試驗器 服务舱曾进入环绕地月L2 点的李萨如轨道 开展试验，服务舱实现了环绕地月L2 点飞行三圈，验证了轨道设计、轨道控制和轨道维持技术[4] 嫦娥4号 的通信中继卫星鹊桥号 则是在该位置使用晕轮轨道 维持运转。
L3 编辑 在两个大天体的连线上，且在较大的天体一侧。
例如： 第三个拉格朗日点，L3 ，位于太阳的另一侧，與太陽的距離略小於地球與太陽的距離，但是位於地球軌道的外部，這個看上去矛盾的表述是因為地球公轉軌道的焦点 ，是太陽與地球的共同質心，儘管對於日地系統來說共同質心在太陽內部，太陽同時也在圍繞這個共同質心轉動，所以這種狀態成為可能。一些科幻小说 和漫画 会在L3 点創造一个「反地球 」。
L4 编辑 L4 点受两天体重力的合力指向系统的质心 在以两天体连线为底的等边三角形 的第三个顶点 上，且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的前方。此点稳定的原因在于，它到两大物体的距离相等，其对两物体分别的引力之比，正好等于两大物体的质量之比。因此，两个引力的合力正好指向该系统的质心，合力大小正好提供该物体公转所需之向心力，使其旋转周期与质量较小天体相同并达成轨道平衡。该系统中，两大物体和L4 点上物体围绕质心旋转，旋转中心与质心重合。事实上，L4 和L5 点上的物体的质量不须小到可忽略。L4 和L5 点处，小物体受太阳和地球的引力的合力指向日地共同质心且大小正合适。
L5 编辑 在以两天体连线为底的等边三角形 的第三个顶点 上，且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的后方。
L4 和L5 有时称为三角拉格朗日点 或特洛伊点 。科幻作品（如漫画、小说）所说的用于放置殖民卫星的拉格朗日点特指L4 和L5 ，不包括L1 和L2 [來源請求]
例如： L4 和L5 在地球围太阳运行的轨道之前和之后成60°角处。实质上是三个物体围绕共同质心转动。
平衡性 编辑 处于L1 、L2 和L3 点的物体是不稳定平衡，处于L4 與L5 的物体是稳定平衡。 嚴格而言，首先拉格朗日點只算是二星體連線之法平面內的穩定點，而在三維空間內則不穩定：考慮L1 ：若垂直於中線地推移測試質點，則有一力將其推回平衡點（稳定平衡）；但若測試質點漂向任一星體，則該星體之引力會將其拉向自己（不稳定平衡 ）。L1 、L2 和L3 点在这条直线上不稳定，如果把物体放在这上面的话，它马上会离开这个点[5] 2 点做周期运动（晕轮轨道 ），这样的话，我们的卫星只需少量調節便能維持其軌道。
此對比：若M1 比M2 大於24.96[6] 4 與L5 的物体是稳定平衡：當一測試質點偏離此平衡點，則科里奥利力 會將其軌道扭曲成（相對於旋轉座標之）扁豆狀。太陽－木星系統有幾千枚小行星，通稱為「特洛伊小行星 」，俱劃此等軌迹。太陽－火星、太陽－土星、木星－木衞、土星－土衞等系統亦有類似星體。日－地系統中亦有 2010 TK7 （第一顆地球特洛伊小行星），在二十世紀五十年代發現塵霧圍繞L4 與L5 。在地－月系統之L4 與L5 點亦發現比对日照 更微弱之塵霧。
行星特洛伊的轨道动画 编辑 金星特洛伊: 2013 ND15 相对于太阳和金星的动画 太阳 · 金星 · 2013 ND15 火星特洛伊: 从 1600 到 2500年1999 UJ7 相对于太阳和火星的动画 太阳 · 1999 UJ7 · 火星 火星特洛伊: 从 1600 到 2500年2007 NS2 相对于太阳和火星的动画 太阳 · 2007 NS2 · 火星 相对于海王星，六个海王星特洛伊的轨道动画，位于海王星L4 ，週期等於 海王星 的軌道周期。
地球的伴星（companion object）克魯特尼 以類似特洛伊之軌道「圍繞」地球，但不是真正的特洛伊衞星，它基本上以一週期略小於一年之橢圓軌道環繞太陽，接近地球時從地球公轉提取動能而進入較高之軌道。當克魯特尼被地球追上，則會交回此動能，跌落低能軌道，重新開始循環。
克魯特尼與地球在各自的軌道上運轉，看起來像在彼此追趕 從地球的角度來觀察，克魯特尼像是繞行著豆子形狀的軌道
土衛十一 （Epimetheus）與土衛十 （Janus）有類似關係，唯因其質量相若，故週期性地互換軌道。
另一類似位形為軌道共振 ，其中各星體之週期，因其相互作用，成簡單整數比。
土卫三 （Tethys）的L4 和L5 点有两个小卫星，土衛十三 （Telesto）和土衛十四 （Calypso）。土卫四 （Dione）的L4 点有一个卫星土衛十二 （Helene）和L5 点有一个卫星土衛三十四 （Polydeuces）。
土卫十和土卫十一軌道動畫 - 旋轉參考系統 土星 · 土卫十 · 土卫十一 土卫十二和土卫三十四相對於土星和土卫四的軌道動畫 - 旋轉參考系統 土卫三十四 · 土卫十二 · 土卫四 · 土星
流行文化 编辑 科幻作品 (例如漫畫和小說) 所說的放置殖民衛星的拉格朗日點指L4和L5，不包括L1和L2。例如L4和L5在地球圍太陽運行的軌道之前和之後成60°角處。
參考文獻 编辑 ^ Seidov, Zakir F. The Roche Problem: Some Analytics. The Astrophysical Journal. March 1, 2004, 603 (1): 283–284. Bibcode:2004ApJ...603..283S . arXiv:astro-ph/0311272 doi:10.1086/381315 . ^ NASA关于SOHO工程的网站. [2004-04-28 ] . （原始内容于2011-02-24）. ^ 王赤.科普：什么是拉格朗日点？ （页面存档备份，存于互联网档案馆 ）2013年01月24日 ^ （[//web.archive.org/web/20160807132913/http://cpc.people.com.cn/n/2015/0106/c87228-26330182.html 页面存档备份，存于互联网档案馆 ） （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） 我国航天器首次到达地月L2 点] （页面存档备份，存于互联网档案馆 ）南方日报 .2015年01月06日 ^ 王赤：介绍拉格朗日点 （页面存档备份，存于互联网档案馆 ）中国科学院 .2011-09-25 ^ 关于拉格朗日点的介绍 互联网档案馆 的，存档日期2003-06-05. 相關 编辑 外部連結 编辑 （英文） 歐洲太空總署有關拉格朗日點的介紹和動畫 （页面存档备份，存于互联网档案馆 ）
拉格朗日点, 关于1991年電子遊戲, 请见, 游戏, 此條目需要精通或熟悉天体力学的编者参与及协助编辑, 2022年1月26日, 請邀請適合的人士改善本条目, 更多的細節與詳情請參见討論頁, 另見其他需要天体力学專家關注的頁面, 此條目需要补充更多来源, 2012年11月18日, 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除, 致使用者, 请搜索一下条目的标题, 来源搜索, 网页, 新闻, 书籍, 学术, 图像, 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源, 判定指引, lag. 关于1991年電子遊戲 请见 拉格朗日点 游戏 此條目需要精通或熟悉天体力学的编者参与及协助编辑 2022年1月26日 請邀請適合的人士改善本条目 更多的細節與詳情請參见討論頁 另見其他需要天体力学專家關注的頁面 此條目需要补充更多来源 2012年11月18日 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目 无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除 致使用者 请搜索一下条目的标题 来源搜索 拉格朗日点 网页 新闻 书籍 学术 图像 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源 判定指引 拉格朗日点 Lagrangian point 又称平动点 libration points 在天体力学中是限制性三体问题的五个特殊解 particular solution 就平面圆型三体问题 1767年数学家欧拉根据旋转的二体引力场推算出其中三个点為L1 L2 L3 1772年数学家拉格朗日推算出另外两个点 特解 為L4 L5 例如 两个天体环绕运行 在空间中有五个位置可以放入第三个物体 质量忽略不计 使其與另两个天体的相對位置保持不變 理想状态下 两个同轨道物体以相同的周期旋转 两个天体的万有引力在拉格朗日点平衡 使得第三个物体与前两个物体相对静止 绿色的点表示第三个物体与前两个物体保持相对静止的拉格朗日点 例如黃色圓型為太陽 藍色點為地球 動畫中為約略位置 詳細位置與軌道需考慮質量比例和質心而稍異於動畫位置 在拉格朗日点之外的其他位置 引力将牵引第三个物体进入不稳定的轨道 兩個天體於旋轉座標系離心假想力場與重力場形成的2維位能場大小 灰色高度為位能場數值 對於拉格朗日點的視覺化說明 紫色線條為2為平面上的等位能面 因為第三個物體感受的重力方向為位能梯度方向 因此可看出五個位能梯度為０處 並且可以看出該等點於不同方向上是否穩定 此動畫也標示出了繞質心旋轉之情形 1 點擊觀看動畫 目录 1 位置 1 1 L1 1 2 L2 1 3 L3 1 4 L4 1 5 L5 2 平衡性 3 行星特洛伊的轨道动画 4 流行文化 5 參考文獻 6 相關 7 外部連結位置 编辑五个拉格朗日点之定义及位置如下 L1 编辑 在M1和M2两个大天体的连线上 且在它们之间 M 1 R r 2 M 2 r 2 M 1 R 2 r M 1 M 2 R 3 displaystyle frac M 1 left R r right 2 frac M 2 r 2 frac M 1 R 2 frac r left M 1 M 2 right R 3 nbsp 其中 r 表示 L1 与较小的物体之间的距离 R 表示两个主要物体之间的距离 M1 和 M2 分别表示较大物体和较小物体的质量 求解 r 需要求解五次方程 但是当小物体的质量 M2 远小于大物体的质量 M1 时 L1和L2近似于希尔球的半径 求解如下 r R M 2 3 M 1 3 displaystyle r approx R sqrt 3 frac M 2 3M 1 nbsp 例如一个围绕太阳旋转的物体 它距太阳的距离越近 它的轨道周期就越短 但是这忽略地球的万有引力对其产生的拉力的影响 如果这个物体在地球与太阳之间 地球引力的影响会减弱太阳对这物体的拉力 因此增加这个物体的轨道周期 物体距地球越近 这种影响就越大 在L1点 物体的轨道周期恰好等于地球的轨道周期 太阳及日光层探测仪 SOHO 2 即在日 地系统的L1点上运行 嫦娥五号的轨道器由于原登月任务完成后仍有充足的燃料 所以安排拓展任务 飞进到日 地系统的L1点进行进一步的太阳探测任务 L2 编辑 在两个大天体的连线上 且在较小的天体一侧 M 1 R r 2 M 2 r 2 M 1 R 2 r M 1 M 2 R 3 displaystyle frac M 1 left R r right 2 frac M 2 r 2 frac M 1 R 2 frac r left M 1 M 2 right R 3 nbsp 同样的 當小物体的质量 M2 远小于大物体的质量 M1 时 r R M 2 3 M 1 3 displaystyle r approx R sqrt 3 frac M 2 3M 1 nbsp 日地系统的L2在地球远离太阳的一侧 一般来讲 一个物体距太阳的距离越远 它的轨道周期通常就越长 但L2点上的物体还受到地球的引力 所以轨道周期变得与地球的相等 日地系统的L2通常用于放置空间天文台 因为L2上的物体可以保持背向太阳和地球的方位 易于保护和校准 威尔金森微波各向异性探测器已经在日 地系统的L2点上运行 詹姆斯韋伯太空望远镜也在日 地系统的L2点上 嫦娥二号亦於2011年进入日 地系统的L2点的环绕轨道 為从月球轨道出发進入日 地系统L2点的首例 3 地月系统的L2在月球远离地球的一侧 月球背面 2014年中国探月工程三期再入返回飛行試驗器服务舱曾进入环绕地月L2点的李萨如轨道开展试验 服务舱实现了环绕地月L2点飞行三圈 验证了轨道设计 轨道控制和轨道维持技术 4 之后嫦娥4号的通信中继卫星鹊桥号则是在该位置使用晕轮轨道维持运转 L3 编辑 在两个大天体的连线上 且在较大的天体一侧 例如 第三个拉格朗日点 L3 位于太阳的另一侧 與太陽的距離略小於地球與太陽的距離 但是位於地球軌道的外部 這個看上去矛盾的表述是因為地球公轉軌道的焦点 是太陽與地球的共同質心 儘管對於日地系統來說共同質心在太陽內部 太陽同時也在圍繞這個共同質心轉動 所以這種狀態成為可能 一些科幻小说和漫画会在L3点創造一个 反地球 L4 编辑 nbsp L4点受两天体重力的合力指向系统的质心在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上 且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的前方 此点稳定的原因在于 它到两大物体的距离相等 其对两物体分别的引力之比 正好等于两大物体的质量之比 因此 两个引力的合力正好指向该系统的质心 合力大小正好提供该物体公转所需之向心力 使其旋转周期与质量较小天体相同并达成轨道平衡 该系统中 两大物体和L4点上物体围绕质心旋转 旋转中心与质心重合 事实上 L4和L5点上的物体的质量不须小到可忽略 L4和L5点处 小物体受太阳和地球的引力的合力指向日地共同质心且大小正合适 L5 编辑 在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上 且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的后方 L4和L5有时称为三角拉格朗日点或特洛伊点 科幻作品 如漫画 小说 所说的用于放置殖民卫星的拉格朗日点特指L4和L5 不包括L1和L2 來源請求 例如 L4和L5在地球围太阳运行的轨道之前和之后成60 角处 实质上是三个物体围绕共同质心转动 平衡性 编辑 nbsp 处于L1 L2和L3点的物体是不稳定平衡 处于L4與L5的物体是稳定平衡 嚴格而言 首先拉格朗日點只算是二星體連線之法平面內的穩定點 而在三維空間內則不穩定 考慮L1 若垂直於中線地推移測試質點 則有一力將其推回平衡點 稳定平衡 但若測試質點漂向任一星體 則該星體之引力會將其拉向自己 不稳定平衡 L1 L2和L3点在这条直线上不稳定 如果把物体放在这上面的话 它马上会离开这个点 5 所以 有一种轨道的设计就是 它是围绕L2点做周期运动 晕轮轨道 这样的话 我们的卫星只需少量調節便能維持其軌道 此對比 若M1比M2大於24 96 6 則处于L4與L5的物体是稳定平衡 當一測試質點偏離此平衡點 則科里奥利力會將其軌道扭曲成 相對於旋轉座標之 扁豆狀 太陽 木星系統有幾千枚小行星 通稱為 特洛伊小行星 俱劃此等軌迹 太陽 火星 太陽 土星 木星 木衞 土星 土衞等系統亦有類似星體 日 地系統中亦有 2010 TK7 第一顆地球特洛伊小行星 在二十世紀五十年代發現塵霧圍繞L4與L5 在地 月系統之L4與L5點亦發現比对日照更微弱之塵霧 行星特洛伊的轨道动画 编辑 nbsp 金星特洛伊 2013 ND15 相对于太阳和金星的动画 太阳 金星 2013 ND15地球特洛伊 从 1600 到 2500年2010 TK7 的轨道动画 nbsp 相对于太阳和地球 nbsp 环绕地球 nbsp 环绕太阳 太阳 地球 2010 TK7 nbsp 火星特洛伊 从 1600 到 2500年1999 UJ7相对于太阳和火星的动画 太阳 1999 UJ7 火星 nbsp 火星特洛伊 从 1600 到 2500年2007 NS2相对于太阳和火星的动画 太阳 2007 NS2 火星 nbsp 相对于海王星 六个海王星特洛伊的轨道动画 位于海王星L4 週期等於 海王星 的軌道周期 地球的伴星 companion object 克魯特尼以類似特洛伊之軌道 圍繞 地球 但不是真正的特洛伊衞星 它基本上以一週期略小於一年之橢圓軌道環繞太陽 接近地球時從地球公轉提取動能而進入較高之軌道 當克魯特尼被地球追上 則會交回此動能 跌落低能軌道 重新開始循環 nbsp 克魯特尼與地球在各自的軌道上運轉 看起來像在彼此追趕 nbsp 從地球的角度來觀察 克魯特尼像是繞行著豆子形狀的軌道 土衛十一 Epimetheus 與土衛十 Janus 有類似關係 唯因其質量相若 故週期性地互換軌道 另一類似位形為軌道共振 其中各星體之週期 因其相互作用 成簡單整數比 土卫三 Tethys 的L4和L5点有两个小卫星 土衛十三 Telesto 和土衛十四 Calypso 土卫四 Dione 的L4点有一个卫星土衛十二 Helene 和L5点有一个卫星土衛三十四 Polydeuces nbsp 土卫十和土卫十一軌道動畫 旋轉參考系統 土星 土卫十 土卫十一 nbsp 土卫十二和土卫三十四相對於土星和土卫四的軌道動畫 旋轉參考系統 土卫三十四 土卫十二 土卫四 土星流行文化 编辑科幻作品 例如漫畫和小說 所說的放置殖民衛星的拉格朗日點指L4和L5 不包括L1和L2 例如L4和L5在地球圍太陽運行的軌道之前和之後成60 角處 參考文獻 编辑 Seidov Zakir F The Roche Problem Some Analytics The Astrophysical Journal March 1 2004 603 1 283 284 Bibcode 2004ApJ 603 283S arXiv astro ph 0311272 nbsp doi 10 1086 381315 NASA关于SOHO工程的网站 2004 04 28 原始内容存档于2011 02 24 王赤 科普 什么是拉格朗日点 页面存档备份 存于互联网档案馆 2013年01月24日 web archive org web 20160807132913 http cpc people com cn n 2015 0106 c87228 26330182 html 页面存档备份 存于互联网档案馆 页面存档备份 存于互联网档案馆 页面存档备份 存于互联网档案馆 我国航天器首次到达地月L2点 页面存档备份 存于互联网档案馆 南方日报 2015年01月06日 王赤 介绍拉格朗日点 页面存档备份 存于互联网档案馆 中国科学院 2011 09 25 关于拉格朗日点的介绍 互联网档案馆的存檔 存档日期2003 06 05 相關 编辑金星特洛伊 英语 Venus trojan 地球特洛伊 火星特洛伊 木星特洛伊 天王星特洛伊 海王星特洛伊 小行星带外部連結 编辑 英文 歐洲太空總署有關拉格朗日點的介紹和動畫 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 拉格朗日点 amp oldid 79077766, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
文章 ，阅读，下载，免费，免费下载，mp3，视频，mp4，3gp， jpg，jpeg，gif，png，图片，音乐，歌曲，电影，书籍，游戏，游戏。
