懸鏈曲面, 又名懸垂曲面, 是一个曲面, 是將懸鏈線繞其準線旋轉而得, 見右側動畫, 故為一旋轉曲面, 除了平面以外, 也是第一個被发现的极小曲面, 在1744年被萊昂哈德, 歐拉发现且證明, jean, baptiste, meusnier也做了些早期的研究, 只有兩個曲面既為旋轉曲面又是最小曲面, 即為平面與, 可被以下參數式所定義, catenoid, obtained, from, rotation, catenary將懸鏈線繞其準線旋轉而得的, cosh, displaystyle, cosh, frac. 懸鏈曲面 又名懸垂曲面 是一个曲面 是將懸鏈線繞其準線旋轉而得 見右側動畫 故為一旋轉曲面 除了平面以外 懸鏈曲面也是第一個被发现的极小曲面 在1744年被萊昂哈德 歐拉发现且證明 1 Jean Baptiste Meusnier也做了些早期的研究 2 只有兩個曲面既為旋轉曲面又是最小曲面 即為平面與懸鏈曲面 3 懸鏈曲面可被以下參數式所定義 懸鏈曲面A catenoid obtained from the rotation of a catenary將懸鏈線繞其準線旋轉而得的懸鏈曲面 x c cosh v c cos u displaystyle x c cosh frac v c cos u y c cosh v c sin u displaystyle y c cosh frac v c sin u z v displaystyle z v 其中u p p displaystyle u in pi pi v R displaystyle v in mathbb R 且c displaystyle c 為非零實數 在圓柱座標系則有 r c cosh z c displaystyle rho c cosh frac z c 其中c displaystyle c 为实数 理想状态下 把一对经过肥皂溶液浸泡的圆形铁环张开 就可以得到一个悬链面形状的肥皂膜 这个现象的原理是由于肥皂膜会趋向于形成在固定边界 铁环 下表面积最小的旋转曲面 根据这个原理 可以用变分法证明肥皂膜的形状是悬链面 螺旋面變換 编辑 nbsp 此動畫展示了螺旋面如何變型成懸鏈曲面螺旋面與懸鏈曲面屬同一相關曲面 我們可以在不拉縮的情況下將懸鏈曲面扳成螺旋面 也就是說 我們可以用一個連續且等距的變換將懸鏈曲面變成螺旋面的一部份 且在變型的每一瞬間 曲面皆為极小曲面 此變換可由下列式子給出 x u v cos 8 sinh v sin u sin 8 cosh v cos u displaystyle x u v cos theta sinh v sin u sin theta cosh v cos u nbsp y u v cos 8 sinh v cos u sin 8 cosh v sin u displaystyle y u v cos theta sinh v cos u sin theta cosh v sin u nbsp z u v u cos 8 v sin 8 displaystyle z u v u cos theta v sin theta nbsp 注意 u v p p displaystyle u v in pi pi times infty infty nbsp 且變換參數8 displaystyle theta nbsp 滿足 p lt 8 p displaystyle pi lt theta leq pi nbsp 其中 8 p displaystyle theta pi nbsp 對應到右旋螺旋面 8 p 2 displaystyle theta pm pi 2 nbsp 對應到懸鏈曲面 8 0 displaystyle theta 0 nbsp 對應到左旋螺旋面 该等距变换可以由微分几何中的曲面第一基本形式证明 參見 编辑幾何 曲面 L Euler Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes 1744 in Opera omnia I 24 Meusnier J B Memoire sur la courbure des surfaces Mem des savans etrangers 10 lu 1776 477 510 1785 Weisstein Eric W 编 Catenoid at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 2014 12 30 原始内容存档于2013 12 28 英语 取自 https zh wikipedia org w index php title 懸鏈曲面 amp oldid 74740881, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,