并矢积

在数学特别是双线性代数中，有同样维度的两个向量 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 的并矢积

${\displaystyle \mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$

是这些向量的张量积，而结果是阶为 2 的张量。

分量

关于选定的基 ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\}}$ ，并矢积 ${\displaystyle \mathbb {P} =\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$  的分量 ${\displaystyle P_{ij}}$  可以定义为

${\displaystyle P_{ij}=u_{i}v_{j}}$  ,

这里的

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i}u_{i}\mathbf {e} _{i}}$  ,

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j}v_{j}\mathbf {e} _{j}}$  ,

而

${\displaystyle \mathbb {P} =\sum _{i,j}P_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$  .

矩阵表示

并矢积可以简单的表示为通过列向量 ${\displaystyle \mathbf {u} }$  乘以行向量 ${\displaystyle \mathbf {v} }$  的方块矩阵。例如，

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \rightarrow {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix}},}$ 

这里的箭头指示这只是并矢积关于特定基的特定表示。在这种表示中，并矢积是克罗内克积的特殊情况。

参见

• 并矢张量
• 张量积
• 克罗内克积
• 外积