希尔伯特符号

在数学中，如果给定一个局部域 ${\displaystyle K}$，比如说实数域或p-进数域，设其去掉0后的乘法群为K^×，则希尔伯特符号是一个关于K^×的由互反律抽离而来的代数建构。希尔伯特符号得名于数学家大卫·希尔伯特。

具体来说，希尔伯特符号是一个从 K^× × K^× 射到 {−1,1} 的函数 ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$ ：

${\displaystyle h\left(a,b\right)={\begin{cases}\;\;\,+1\\\;\;\,-1\end{cases}}}$	如果方程 ${\displaystyle z^{2}=ax^{2}+by^{2}}$ 有非零的正整数解 ${\displaystyle (x,y,z)}$
	如果方程 ${\displaystyle z^{2}=ax^{2}+by^{2}}$ 只有零解

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性质

由定义可以直接得到希尔伯特符号的三个性质：

• 如果 ${\displaystyle a}$  是完全平方数，那么对任意的 ${\displaystyle b}$ ，都有${\displaystyle h(a,b)=1}$ 。
• 对${\displaystyle \mathbf {K} ^{\times }}$ 中任意 ${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ ，${\displaystyle h(a,b)=h(b,a)}$ 。
• 如果 ${\displaystyle a\in \mathbf {K} ^{\times }}$  而且 ${\displaystyle a-1\in \mathbf {K} ^{\times }}$  ，那么${\displaystyle h(a,1-a)=1}$ 。

进一步可以证明，${\displaystyle h(a,bc)=h(a,b)h(a,c)}$ 。

参见

• 類域論
• 雅可比符号
• 勒让德符号
• 二次互反律

外部链接

• Mathworld中的希尔伯特符号 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

参考来源

• Z. I. Borevich, I. R. Shafarevich. Number theory. Academic Press. 1966. ISBN 0-12-117851-X. 
• Milnor, John Willard, Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies 72, Princeton University Press, 1971, MR0349811 
• Vostokov, S. V.; Fesenko, I. B., Local fields and their extensions, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002 [2008-09-01], ISBN 978-0-8218-3259-2, （原始内容于2012-07-17） 
• Serre, Jean-Pierre, A Course in Arithmetic, Graduate Texts in Mathematics 7, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996, ISBN 978-3-540-90040-5