布朗篩法

在數論中，布朗篩法（Brun sieve，或布朗純篩法，Brun's pure sieve）是一個用以估計滿足特定條件的「篩選過的」正整數集大小的技巧，而這些條件一般都以同餘表示。這篩法由瑋哥·布朗於1915年發展，並在後來由其他學者推廣為篩法基本引理。

描述

在篩法的術語中，布朗篩法是一種「組合篩法」，也就是一種透過小心應用容斥原理進行「篩選」的篩法。在正式討論布朗篩法前，先定義一些表記：

設${\displaystyle A}$ 為正整數的有限集，而${\displaystyle P}$ 則為質數的集合，然後設${\displaystyle A_{p}}$ 是${\displaystyle A}$ 中可為${\displaystyle P}$ 中的質數${\displaystyle p}$ 整除的數組成的集合；此外，可設${\displaystyle d}$ 為${\displaystyle P}$ 中的不同質數的乘積，在這種狀況下，可相應地定義${\displaystyle A_{d}}$ 為${\displaystyle A}$ 中可被${\displaystyle d}$ 整除的數的集合，也就是與${\displaystyle d}$ 的質因數${\displaystyle p}$ 相應的集合${\displaystyle A_{p}}$ 的交集；而${\displaystyle A_{1}}$ 也可相應地定義成${\displaystyle A}$ 本身。

設${\displaystyle z}$ 為任意實數，那這篩法的目標就是估計下式：

$${\displaystyle S(A,P,z)={\biggl \vert }A\setminus \bigcup _{p\in P \atop p\leq z}A_{p}{\biggr \vert },}$$

 

在上式中，${\displaystyle |X|}$ 是集合${\displaystyle X}$ 的元素個數。

此外，假若${\displaystyle |A_{d}|}$ 的元素個數可由下式估計的話（下式中，${\displaystyle w}$ 是一個積性函數，而${\displaystyle R_{d}}$ 是與之相應的誤差項）：

$${\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}|A|+R_{d},}$$

 

那就可定義下式：

$${\displaystyle W(z)=\prod _{p\in P \atop p\leq z}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right).}$$

 

布朗純篩法

以下內容取自Cojocaru & Murty （页面存档备份，存于互联网档案馆）的定理6.1.2.，並使用上述的表記。

若以下條件成立：

• 對於任意由${\displaystyle P}$ 中的質數構成的無平方因子數${\displaystyle d}$ 而言，有${\displaystyle |R_{d}|\leq w(d)}$ 
• 存在常數${\displaystyle C,D,E}$ 使得對於任意實數${\displaystyle z}$ 而言，有${\displaystyle \sum _{p\in P \atop p\leq z}{\frac {w(p)}{p}}<D\log \log z+E.}$ 
• 對於任意${\displaystyle P}$ 中的質數${\displaystyle p}$ ，有${\displaystyle w(p)<C}$ 

則有以下的關係式：

$${\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)\cdot \left({1+O\left((\log z)^{-b\log b}\right)}\right)+O\left(z^{b\log \log z}\right)}$$

 

其中${\displaystyle X}$ 是${\displaystyle A}$ 的元素個數、${\displaystyle b}$ 是任意正整數，而${\displaystyle O}$ 則是大O符號。

此外，設${\displaystyle x}$ 為${\displaystyle A}$ 的最大元，那在存在足夠小的${\displaystyle c}$ 使得${\displaystyle \log z<c\log x/\log \log x}$ 的狀況下，有下列關係式：

$${\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)(1+o(1)).}$$

 

應用

• 布朗定理：所有孿生質數的倒數和收斂。
• 施尼勒爾曼密度：所有的偶數至多${\displaystyle C}$ 個質數之和。${\displaystyle C}$ 的大小可小至6。
• 存在有無限多個彼此差為2的整數對，而在這整數對中的兩個數都至多是九個質數的乘積。
• 所有的偶數都可表示成兩個至多是九個質數乘積的數之和。

最後兩個定理弱於陳氏定理及弱哥德巴赫猜想。

參考資料

• Viggo Brun. Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 1915, B34 (8). 
• Viggo Brun. La série ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}}+{\tfrac {1}{17}}+{\tfrac {1}{19}}+{\tfrac {1}{29}}+{\tfrac {1}{31}}+{\tfrac {1}{41}}+{\tfrac {1}{43}}+{\tfrac {1}{59}}+{\tfrac {1}{61}}+\cdots }$  où les dénominateurs sont "nombres premiers jumeaux" est convergente ou finie. Bulletin des Sciences Mathématiques. 1919, 43: 100–104, 124–128. JFM 47.0163.01. 
• Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty. An introduction to sieve methods and their applications. London Mathematical Society Student Texts 66. Cambridge University Press. 2005: 80–112. ISBN 0-521-61275-6. 
• George Greaves. Sieves in number theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge) 43. Springer-Verlag. 2001: 71–101. ISBN 3-540-41647-1. 
• Heini Halberstam; H.E. Richert. Sieve Methods. Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6. 
• Christopher Hooley. Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge University Press. 1976. ISBN 0-521-20915-3. .