篩法基本引理

在數論上，篩法基本引理（fundamental lemma of sieve theory）指的是數個對於把篩法套用到特定問題上的過程進行系統化結果。哈巴施潭（英语：Heini Halberstam）與理希（英语：Hans-Egon Richert） ^[1]:92–93寫道：

篩法文獻一個引人好奇的特性是盡管人們常用布朗篩法，但僅有少數人嘗試為布朗『定理』（如定理2.1）給出一個一般公式；而這結果就是，有令人驚訝多的論文不斷地在許多細節上，重複布朗的論證。

賈盟（Diamond）與哈巴施潭（英语：Heini Halberstam）^[2]:42認為「基本引理」一詞源自約拿·古必柳（英语：Jonas Kubilius）。

共通符號

此條目中，我們使用以下的符號：

• ${\displaystyle A}$ 是一個有${\displaystyle X}$ 個正整數的集合，而${\displaystyle A_{d}}$ 則是由可被${\displaystyle d}$ 除盡的正整數組成的子集。
• ${\displaystyle w(d)}$ 及${\displaystyle R_{d}}$ 是${\displaystyle A}$ 與${\displaystyle d}$ 的函數，這些函數可用以估計${\displaystyle A}$ 中可被${\displaystyle d}$ 除盡的元素的個數。而我們有以下的公式：

${\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}X+R_{d}.}$ 

因此，${\displaystyle w(d)/d}$ 表示能被${\displaystyle d}$ 除盡的元素的大致密度；而${\displaystyle R_{d}}$ 則表示剩餘項或誤差。

• ${\displaystyle P}$ 是一個質數的集合，而${\displaystyle P(z)}$ 則是所有不大於${\displaystyle \leq z}$ 的質數的乘積。
• ${\displaystyle S(A,P,z)}$ 是${\displaystyle A}$ 中不為任何${\displaystyle P}$ 中不大於${\displaystyle \leq z}$ 的質數除盡的元素的數量。
• ${\displaystyle \kappa }$ 是一個常數，又稱作篩選密度（sifting density）。^[3]:28這篩選密度會出現在以下的假設中，表示被每個質數篩掉的同餘類數量的加權平均。

組合篩法基本引理

以下公式表示取自太能保母（Tenenbaum）。^[4]:60，其他的公式表示則可見於哈巴施潭（英语：Heini Halberstam）與理希（英语：Hans-Egon Richert）、^[1]:82、葛里維斯（Greaves）及^[3]:92及弗里蘭（英语：John Friedlander）與伊萬尼茲等人的著作。^{[5]:732–733}

我們首先作出如下假設：

• ${\displaystyle w(d)}$ 是一個積性函數。
• 對於某個常數${\displaystyle C}$ 及任意滿足${\displaystyle 2\leq \eta \leq \xi }$ 的實數${\displaystyle \eta }$ 及${\displaystyle \xi }$ 而言，篩選密度${\displaystyle \kappa }$ 滿足如次條件：${\displaystyle \prod _{\eta \leq p\leq \xi }\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)^{-1}<\left({\frac {\ln \xi }{\ln \eta }}\right)^{\kappa }\left(1+{\frac {C}{\ln \eta }}\right).}$ 

對於${\displaystyle A}$ 、${\displaystyle X}$ 、${\displaystyle z}$ 及${\displaystyle u}$ 而言，我們有以下等式。此公式中的${\displaystyle u\geq 1}$ 由使用者自行決定其數值：

${\displaystyle S(A,P,z)=X\prod _{p\leq z,p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(u^{-u/2})\}+O\left(\sum _{d\leq z^{u},d|P(z)}|R_{d}|\right).}$ 

在實際應用中，可對${\displaystyle u}$ 進行選取已得到最佳的結果。在這篩法中，其數值取決於容斥原理的使用層級數。

塞爾伯格篩法基本引理

以下公式表示取自哈巴施潭（英语：Heini Halberstam）與理希（英语：Hans-Egon Richert）的結果^{[1]:208–209}；另一個公式表示可見於賈盟（Diamond）與哈巴施潭（英语：Heini Halberstam）的結果。^[2]:29

我們首先作出如下假設：

• ${\displaystyle w(d)}$ 是一個積性函數。
• 對於某個常數${\displaystyle C}$ 及任意滿足${\displaystyle 2\leq \eta \leq \xi }$ 的實數${\displaystyle \eta }$ 及${\displaystyle \xi }$ 而言，篩選密度${\displaystyle \kappa }$ 滿足如次條件：${\displaystyle \qquad \sum _{\eta \leq p\leq \xi }{\frac {w(p)\ln p}{p}}<\kappa \ln {\frac {\xi }{\eta }}+C.}$ 
• 對於一些小且固定的${\displaystyle c}$ 及所有的${\displaystyle p}$ 而言，${\displaystyle {\frac {w(p)}{p}}<1-c}$ 。
• 對於所有無平方因子、且質因數位於${\displaystyle P}$ 中的${\displaystyle d}$ 而言，${\displaystyle |R(d)|\leq w(d)}$ 。

使用上述的假定，塞爾伯格篩法基本引理跟組合篩法基本引理幾乎相同。設${\displaystyle u=\ln {X}/\ln {z}}$ ，則有如次結論：

${\displaystyle S(A,P,z)=X\prod _{p\leq z,\ p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(e^{-u/2})\}.}$ 

應當注意的是，在我們的處理中，${\displaystyle u}$ 不再是一個獨立參數，而是一個取決於${\displaystyle z}$ 的參數。

另外值得注意的是，此處的誤差項弱於上述組合篩法基本引理的誤差項；而哈巴施潭（英语：Heini Halberstam）與理希（英语：Hans-Egon Richert）對此寫道說：「因此一直以來許多文獻假定的『塞爾伯格篩法總是比布朗篩法還要好』的這說法不全然為真。」

註解

1. Halberstam, Heini; Richert, Hans-Egon. Sieve Methods. London Mathematical Society Monographs 4. London: Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6. MR 0424730. 
2. Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini. A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions. Cambridge Tracts in Mathematics 177. With William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0-521-89487-6. 
3. Greaves, George. Sieves in Number Theory. Berlin: Springer. 2001. ISBN 3-540-41647-1. 
4. Tenenbaum, Gérald. Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41261-7. 
5. Friedlander, John; Henryk Iwaniec. On Bombieri's asymptotic sieve. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa; Classe di Scienze. 4e série. 1978, 5 (4): 719–756 [2009-02-14]. （原始内容于2023-05-08）.