已知最大質數

已知最大質數（截至2021年9月 (2021-09)^[update]）為2^82,589,933 − 1，十進制時有24,862,048位數，由互联网梅森素数大搜索（GIMPS）的志願者派翠克·拉羅次（Patrick Laroche）於2018年發現^[1]。

電子電腦發明後已知最大質數數位的按年圖表，至2016年為止。垂直刻度為對數尺度，紅線為曲線擬合：y = exp(0.187394 t − 360.527)，t為年份

質數，又名素数，是一個除1與自身之外沒有其他因數的正整数。欧几里得定理說明質數沒有上限，不少數學家與嗜好者故一直尋找大質數。

不少大質數為梅森素数，定義為2的冪減去1的正整數。截至2018年12月 (2018-12)^[update]，首八個已知大質數皆為梅森素数^[2]。近十七次最大質數紀錄皆為梅森素数^[3][4]。所有梅森素数的二进制表示中，所有數字皆為1^[5]。

卢卡斯-莱默检验法的快速傅里叶变换比起其他方式能更快速尋找到梅森素数。

現時紀錄

已知最大質數為2^82,589,933 − 1，共有24,862,048位數，由互联网梅森素数大搜索於2018年12月發現^[1]。其數值為：

148894445742041325547806458472397916603026273992795324185271289425213239361064475310309971132180337174752834401423587560 ...

（省略24,861,808位數）

... 062107557947958297531595208807192693676521782184472526640076912114355308311969487633766457823695074037951210325217902591^[6]

上面只顯示首尾各120位數。

獎金

互联网梅森素数大搜索現為下載其軟件並成功尋找新梅森素数的參與者提供3,000美元獎金，該梅森素数的數位應少於一億位。

电子前哨基金会亦為大質數的找尋設立了數個獎項^[7]，互联网梅森素数大搜索亦有協調一億數位以上的質數搜索，並與成功尋找者分享电子前哨基金会所提供的150,000元美金獎金。

1999年發現首個超過一百萬數位的質數，並取得50,000美元獎金^[8]。2008年發現了超過一千萬數位的質數，並取得100,000美元獎金^[7]。時代雜誌稱之為2008年第29名最佳發現^[9]兩項獎金皆為互联网梅森素数大搜索的參加者。电子前哨基金会現為首個一億及十億數位的質數提供獎金^[7]。

已知最大質數歷史

下表列出已知最大質數沿革，並按時序排列^[3]。此處M_n = 2ⁿ − 1，為2的n次方。時間最長的紀錄保持者為M₁₉ = 524,287，為已知最大質數共計144年。1456年之前未存有關最大質數的紀錄。

數字	數字展開 （僅限小於M5000的數字）	數位	發現年份	發現者
M13	8,191	4	1456	佚名
M17	131,071	6	1588	伯多祿·卡塔迪
M19	524,287	6	1588	伯多祿·卡塔迪
${\displaystyle {\tfrac {2^{32}+1}{641}}}$	6,700,417	7	1732	萊昂哈德·歐拉 歐拉並未正式發表此數，但他於2^32 + 1的因式分解中已完成此質數的大部分證明過程，故部分專家認為歐拉知道此為質數^[10]
M31	2147483647	10	1772	萊昂哈德·歐拉
${\displaystyle {\tfrac {2^{64}+1}{274177}}}$	67,280,421,310,721	14	1855	湯馬斯·克勞森（英语：Thomas Clausen (mathematician)）
M127	170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727	39	1876	爱德华·卢卡斯
${\displaystyle {\tfrac {2^{148}+1}{17}}}$	20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921	44	1951	Aimé Ferrier 使用機械計算機發現，非使用電腦發現的最大質數
180×(M127)^2+1	5210644015679228794060694325390955853335898483908056458352 183851018372555735221	79	1951	J. C. P.米勒（英语：J. C. P. Miller）與大衛·惠勒（英语：David Wheeler (computer scientist)）^[11] 使用劍橋大學（英语：University of Cambridge Mathematical Laboratory）的EDSAC電腦
M521	6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394 4634591855431833976560521225596406614545549772963113914808 58037121987999716643812574028291115057151	157	1952
M607	53113799281676709868958820655246862732959311772703192319944 4138200403559860852242739162502265229285668889329486246501 01534657933765270723940951997876658735194383127083539321903 1728127	183	1952
M1279	10407932194664399081925240327364085538615262247266704805319 112350403608059673360298012239441732324184842421613954281007 79138356624832346490813990660567732076292412950938922034577 318334966158355047295942054768981121169367714754847886696250 138443826029173234888531116082853841658502825560466622483189 091880184706822220314052102669843548873295802887805086973618 6900714720710555703168729087	386	1952
M2203	14759799152141802350848986227373817363120661453331697751477712 164785702978780789493774073370493892893827485075314964804772 8126483876025919181446336533026954049696120111343015690239609 398909022625932693502528140961498349938822283144859860183431 853623092377264139020949023183644689960821079548296376309423 6630945410832793769905399982457186322944729636418890623372171 723742105636440368218459649632948538696905872650486914434637 4575072804418236768135178520993486608471725794084223166780976 7022401199028017047489448742692474210882353680848507250224051 9452587542875349976558572670229633962575212637477897785501552 646522609988869914013540483809865681250419497686697771007	664	1952
M2281	446087557183758429571151706402101809886208632412859901111991219963404685792 82047336911254526900398902615324593112431670239575870569367936479090349746 114707106525419335393812497822630794731241079887486904007027932842881031175 484410809487825249486676096958699812898264587759602897917153696250306842 961733170218475032458300917183210491605015762888660637214550170222592512522 40768296054271735739648129952505694124807207384768552936816667128448311908 776206067866638621902401185707368319018864792258104147140789353865624979681 787291276295949244119609613867139462798992750069549171397587960612238033935 373810346664944029510520590479686932553886479304409251041868170096401717641 33172418132836351	687	1952
M3217	25911708601320262777624676792244153094181888755312542730397492316187401926658 63620862012095168004834065506952417331941774416895092388070174103777095975120 423130666240829163535179523111861548622656045476911275958487756105687579311910 17711408826252153849035830401185072116424747461823031471398340229288074545677 907941037288235820705892351068433882986888616658650280927692080339605869308 79050040950370987590211901837199162099400256893511313654882973911265679730324 19865172501164127035097054277734779723498216764434466683831193225400996489940 5179024162405651905448369080961606162574304236172186333941585242643120873726 6591962061753535748892894599629195183082621860853400937932839420261866586142 50325145077309627423537682293864940712770084607712421182308080413929808705750 47138252645714483793711250320818261265666490842516994539518877896136502484057 3937859459944433523118828012366040626246860921215034993758478229223714433962 8858485938215738821232393687046160677362909315071	969	1957
M4423	2855425422282796139015635661021640083261642386447028891992474566022844003906 00653875954571505539843239754513915896150297878399377056071435169747221107988 7911982009884775313392142827720160590099045866862549890848157354224804090223 44297588352526004383890632616124076317387416881148592486188361873904175783145 6960169195743907655982801885990355784485910776836771755204340742877265780062 66759615970759521327828555662781678385691581844436444812511562428136742490459 363212810180276096088111401003377570363545725120924073646921576797146199387619 29656030268026179011813292501232304644443862230887792460937377301248168167242 44936744744885377701557830068808526481615130671448147902883666640622572746652 757871273746492310963750011709018907862633246195787957314256938050730561196775 8033808433338198750090296883193591309526982131114132239335649017848872898228 81562826008138312961436638459454311440437538215428712777456064478585641592133 2844358020642271469491309176271644704168967807009677359042980890961675045292 725800084350034483162829708990272864998199438764723457427626372969484830475 09171741861811306885187927486226122933413689280566343844666463265724761672756 60839105650528975713899320211121495795311427946254553305387067821067601768750 97786610046001460213840844802122505368905479374200309572209673295475072171811 5531871310231057902608580607	1,332	1961
M9689		2,917	1963
M9941		2,993	1963
M11213		3,376	1963
M19937		6,002	1971
M21701		6,533	1978
M23209		6,987	1979
M44497		13,395	1979
M86243		25,962	1982
M132049		39,751	1983
M216091		65,050	1985
391581×2^216193−1		65,087	1989	群組發現，包括約翰·布朗、藍登·克特·諾爾（英语：Landon Curt Noll）、B. K. 柏拉狄、哲恩·史密夫、喬爾·史密夫、沙治奧^[12]^[13]，為已知最大質數歷史中最大的非梅森素數。
M756839		227,832	1992
M859433		258,716	1994
M1257787		378,632	1996
M1398269		420,921	1996	互联网梅森素数大搜索，喬爾·阿孟較得
M2976221		895,932	1997	互联网梅森素数大搜索，戈登·斯彭斯
M3021377		909,526	1998	互联网梅森素数大搜索，羅蘭·克拉克森
M6972593		2,098,960	1999	互联网梅森素数大搜索，拿恩·哈拉華拉
M13466917		4,053,946	2001	互联网梅森素数大搜索，米高·卡梅倫
M20996011		6,320,430	2003	互联网梅森素数大搜索，米高·沙夫
M24036583		7,235,733	2004	互联网梅森素数大搜索，喬許·芬德利
M25964951		7,816,230	2005	互联网梅森素数大搜索，馬田·諾或
M30402457		9,152,052	2005	互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀與史提夫·布恩
M32582657		9,808,358	2006	互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀與史提夫·布恩
M43112609		12,978,189	2008	互联网梅森素数大搜索，埃德森·史密夫
M57885161		17,425,170	2013	互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀
M74207281		22,338,618	2016	互联网梅森素数大搜索，柯蒂斯·库珀
M77232917		23,249,425	2017	互联网梅森素数大搜索，強納森·佩斯
M82589933		24,862,048	2018	互联网梅森素数大搜索，派翠克·拉羅次

互联网梅森素数大搜索發現了近十五個最大質數紀錄。

二十大已知質數

克里斯·科德韋爾設有一列表，內共有已知最大的五千個質數^[14][15]，其中最大二十個列於下表。

排名	數字	發現日期	數位	參考資料
1	2^82589933 − 1	2018-12-07	24,862,048	^[1]
2	2^77232917 − 1	2017-12-26	23,249,425	^[16]
3	2^74207281 − 1	2016-01-07	22,338,618	^[17]
4	2^57885161 − 1	2013-01-25	17,425,170	^[18]
5	2^43112609 − 1	2008-08-23	12,978,189	^[19]
6	2^42643801 − 1	2009-06-04	12,837,064	^[20]
7	2^37156667 − 1	2008-09-06	11,185,272	^[19]
8	2^32582657 − 1	2006-09-04	9,808,358	^[21]
9	10223 × 2^31172165 + 1	2016-10-31	9,383,761	^[22]
10	2^30402457 − 1	2005-12-15	9,152,052	^[23]
11	2^25964951 − 1	2005-02-18	7,816,230	^[24]
12	2^24036583 − 1	2004-05-15	7,235,733	^[25]
13	2^20996011 − 1	2003-11-17	6,320,430	^[26]
14	1059094^1048576 + 1	2018-10-31	6,317,602	^[27]
15	919444^1048576 + 1	2017-08-29	6,253,210	^[28]
16	168451 × 2^19375200 + 1	2017-09-17	5,832,522	^[29]
17	123447^1048576 − 123447^524288 + 1	2017-02-23	5,338,805	^[30]
18	7 × 6^6772401 + 1	2019-09-09	5,269,954	^[31]
19	8508301 × 2^17016603 − 1	2018-03-21	5,122,515	^[32]
20	6962 × 31^2863120 − 1	2020-02-29	4,269,952	^[33]

參見

• 梅森素数
• 素性测试
• 素数
• 費馬數
• 卡倫數
• 胡道爾數
• 泰坦質數（英语：Titanic prime）
• 巨大質數（英语：Gigantic prime）
• 超大質數（英语：Megaprime）
• 索菲·熱爾曼質數

參考資料

1. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^82,589,933-1. Mersenne Research, Inc. 2018-12-21 [2018-12-21]. （原始内容存档于2020-08-15）. 
2. Caldwell, Chris. The largest known primes - Database Search Output. Prime Pages. [2018-06-03]. （原始内容于2021-03-12）. 
3. Caldwell, Chris. The Largest Known Prime by Year: A Brief History. Prime Pages. [2016-01-20]. （原始内容存档于2013-08-19）. 
4. 最後一個非梅森素数為391,581 ⋅ 2^216,193 − 1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）；參見The Largest Known Prime by Year: A Brief History （页面存档备份，存于互联网档案馆），Caldwell着
5. Perfect Numbers. Penn State University. [2019-10-06]. （原始内容于2020-08-03）. An interesting side note is about the binary representations of those numbers... 
6. 存档副本. [2020-07-30]. （原始内容存档于2020-08-15）. 
7. Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize. Electronic Frontier Foundation. 电子前哨基金会. 2009-10-14 [2011-11-26]. （原始内容于2011-08-05）. 
8. Electronic Frontier Foundation, Big Prime Nets Big Prize （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
9. . Time (时代公司). 2008-10-29 [2012-01-17]. （原始内容存档于2013-08-22）. 
10. C. Edward Sandifer. How Euler Did Even More. 2007-08-30: 43 [2020-07-30]. ISBN 0883855844. （原始内容于2020-08-04）. 
11. J. Miller（英语：J. C. P. Miller）, Large Prime Numbers. Nature 168, 838 (1951).
12. Letters to the Editor （页面存档备份，存于互联网档案馆）. The American Mathematical Monthly 97, no. 3 (1990), p. 214. Accessed May 22, 2020.
13. Proof-code: Z （页面存档备份，存于互联网档案馆）, The Prime Pages（英语：Prime Pages）.
14. The Prime Database: The List of Largest Known Primes Home Page. primes.utm.edu/primes. Chris K. Caldwell. [2017-09-30]. （原始内容于2021-02-27）. 
15. The Top Twenty: Largest Known Primes. Chris K. Caldwell. [2018-01-03]. （原始内容于2021-02-25）. 
16. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^77,232,917-1. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. [2018-01-03]. （原始内容于2018-01-03）. 
17. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^74,207,281-1. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. [2017-09-29]. （原始内容于2018-01-07）. 
18. GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 2^57,885,161-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. 2013-02-05 [2017-09-29]. （原始内容于2021-01-26）. 
19. GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 2^43,112,609-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. 2008-09-15 [2017-09-29]. （原始内容于2011-06-03）. 
20. GIMPS Discovers 47th Mersenne Prime, 2^42,643,801-1 is newest, but not the largest, known Mersenne Prime.. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. 2009-04-12 [2017-09-29]. （原始内容于2021-02-19）. 
21. GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 2^32,582,657-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. 2006-09-11 [2017-09-29]. （原始内容于2021-01-26）. 
22. PrimeGrid's Seventeen or Bust Subproject (PDF). primegrid.com. PrimeGrid（英语：PrimeGrid）. [2017-09-30]. （原始内容 (PDF)于2021-01-15）. 
23. GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 2^30,402,457-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. 2005-12-24 [2017-09-29]. （原始内容于2021-03-14）. 
24. GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 2^25,964,951-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. 2005-02-27 [2017-09-29]. （原始内容于2021-03-14）. 
25. GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 2^24,036,583-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. 2004-05-28 [2017-09-29]. （原始内容于2021-01-29）. 
26. GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 2^20,996,011-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 互联网梅森素数大搜索. 2003-12-02 [2017-09-29]. （原始内容于2020-06-07）. 
27. PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search (PDF). primegrid.com. PrimeGrid（英语：PrimeGrid）. [2018-11-07]. （原始内容 (PDF)于2021-01-15）. 
28. PrimeGrid's Generalized Fermat Prime Search (PDF). primegrid.com. PrimeGrid（英语：PrimeGrid）. [2017-09-29]. （原始内容 (PDF)于2021-02-26）. 
29. PrimeGrid's Prime Sierpinski Problem (PDF). primegrid.com. PrimeGrid（英语：PrimeGrid）. [2017-09-29]. （原始内容 (PDF)于2020-12-23）. 
30. The Prime Database: Phi(3,-123447^524288). primes.utm.edu. The Prime Pages. [2017-09-30]. （原始内容于2021-01-21）. 
31. The Prime Database: 7*6^6772401+1. primes.utm.edu. The Prime Pages. [2019-09-12]. （原始内容于2021-01-21）. 
32. PrimeGrid's Woodall Prime Search (PDF). primegrid.com. PrimeGrid（英语：PrimeGrid）. [2018-04-02]. （原始内容 (PDF)于2021-01-21）. 
33. The Prime Database: 6962*31^2863120-1. primes.utm.edu. The Prime Pages. [2020-04-06]. （原始内容于2021-01-21）. 

外部連結

• Press release about the largest known prime 2^82,589,933−1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Press release about the former largest known prime 2^77,232,917−1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Press release about the former largest known prime 2^74,207,281−1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）