卡倫數

卡倫數是形式如${\displaystyle n\times 2^{n}+1}$（寫作${\displaystyle C_{n}}$）的自然數。

若質數${\displaystyle p=8k-3=2n-1}$，${\displaystyle C_{n}}$能被${\displaystyle p}$整除。根據費馬小定理，若p是奇質數，${\displaystyle p}$能整除${\displaystyle C_{m(k)}}$對於${\displaystyle m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k}$ (對於${\displaystyle k>0}$)。

廣義卡倫數有時定義為${\displaystyle n\times b^{n}+1}$而且${\displaystyle n+2>b}$。胡道爾數有時稱為第二種卡倫數。

歷史和卡倫質數

1905年，詹姆士·卡倫首先研究它。

1958年Raphael M. Robinson核實${\displaystyle C_{141}}$ 是質數，且證明了若${\displaystyle n\leq 1000}$ ，除了${\displaystyle C_{1}}$ 和${\displaystyle C_{141}}$ 之外，${\displaystyle C_{n}}$ 均為合成數。

1984年Wilfrid Cellar又類似地核實了${\displaystyle C_{4713},C_{5795},C_{6611},C_{18496}}$  和以上提到的卡倫質數之外，${\displaystyle n\leq 30000}$ 的${\displaystyle C_{n}}$ 均為合成數。

截止2009年4月，已知的卡倫質數有141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828 (OEIS:A005849)，n=1354000以下的卡倫質數已被找到。可是，「存在無限個卡倫質數」這問題仍屬猜想。

是否存在質數${\displaystyle p}$ 使得${\displaystyle C_{p}}$ 為質數同樣為疑問。

參考

• Cullen, James (1905). Question 15897. Educ. Times (December 1905), 534.