字符串运算

在计算机科学领域形式语言理论中，经常用到各种字符串函数；但是符号不同于计算机编程中所用到的，某些在理论领域中常用的函数，在编程中很少用到。本文定义其中一些基本术语。

字符串的字母表

字符串的字母表是在一个特定字符串中出现的所有字母的列表。如果 s 是字符串，则它的字母表指示为

${\displaystyle \operatorname {Alph} (s)}$ 

这可以等价地认为是先把字符串中的所有字母按照给定的顺序排好，再去掉其中重复者。

字符串代换

设 L 是一个语言，并设 ${\displaystyle \Sigma }$  是它的字母表。字符串代换或简称代换是映射 f，它把 ${\displaystyle \Sigma }$  中的字母映射到(可能有不同的字母表的)语言。比如，给定一个字母 ${\displaystyle a\in \Sigma }$ ，有 ${\displaystyle f(a)=L_{a}}$  这里的 ${\displaystyle L_{a}\subset \Delta ^{*}}$  是其字母表为 ${\displaystyle \Delta }$  的某个语言。这个定义可被扩展到字符串为

${\displaystyle f(\varepsilon )=\varepsilon }$ 

对于空串 ${\displaystyle \varepsilon }$ ，和

${\displaystyle f(sa)=f(s)f(a)}$ 

对于字符串 ${\displaystyle s\in L}$ 。字符串代换可以被扩展到整个语言为

${\displaystyle f(L)=\bigcup _{s\in L}f(s)}$ 

字符串代换的一个例子出现在正则语言中，它闭合于字符串代换之下。就是说，如果一个正规语言的字母被另一个正规语言所代换，结果仍是正规语言。

字符串同态

字符串同态是使得每个字母被替代为一个单一字符串的字符串代换。就是说，${\displaystyle f(a)=s}$ ，这里的 s 是字符串，对于每个字母 a。字符串同态是保持字符串连接二元运算的同态。给定一个语言 L，${\displaystyle f(L)}$  的集合叫做 L 的同态像。字符串 s 的逆同态像被定义为

${\displaystyle f^{-1}(s)=\{w\vert f(w)=s\}}$ 

而语言 L 的逆同态像被定义为

${\displaystyle f^{-1}(L)=\{s\vert f(s)\in L\}}$ 

注意一般的说 ${\displaystyle f(f^{-1}(L))\neq L}$ ，然而确实有

${\displaystyle f(f^{-1}(L))\subseteq L}$ 

和

${\displaystyle L\subseteq f^{-1}(f(L))}$ 

对于任何语言 L。简单单一字母置换密码是字符串代换的例子。

字符串投影

如果 s 是字符串，而 ${\displaystyle \Sigma }$  是字母表，s 的字符串投影是通过删除不在 ${\displaystyle \Sigma }$  中的所有字母结果的字符串。它被写为 ${\displaystyle \pi _{\Sigma }(s)\,}$ 。它通过从右手端切除字母来得出形式定义:

${\displaystyle \pi _{\Sigma }(s)={\begin{cases}\varepsilon &{\mbox{if }}s=\varepsilon {\mbox{ the empty string}}\\\pi _{\Sigma }(t)&{\mbox{if }}s=ta{\mbox{ and }}a\notin \Sigma \\\pi _{\Sigma }(t)a&{\mbox{if }}s=ta{\mbox{ and }}a\in \Sigma \end{cases}}}$ 

这里的 ${\displaystyle \varepsilon }$  指示空串。字符串的投影本质上同于关系代数中的投影。

字符串投影可以提升为语言的投影。给定形式语言 L，它的投影给出自

${\displaystyle \pi _{\Sigma }(L)=\{\pi _{\Sigma }(s)\vert s\in L\}}$ 

右商

字符串 s 与字母 a 的右商是在字符串 s 中切断右手端字母 a 得到的字符串。它被指示为 ${\displaystyle s/a}$ 。如果字符串在右手端没有 a，则结果是空串。就是:

${\displaystyle (sa)/b={\begin{cases}s&{\mbox{if }}a=b\\\varepsilon &{\mbox{if }}a\neq b\end{cases}}}$ 

空串的右商可以是:

${\displaystyle \varepsilon /a=\varepsilon }$ 

类似的，给出幺半群 ${\displaystyle M}$  的子集 ${\displaystyle S\subset M}$ ，可以定义商子集为

${\displaystyle S/a=\{s\in M\vert sa\in S\}}$ 

左商可以类似的定义，运算发生在字符串的左端。

语法关系

幺半群 ${\displaystyle M}$  的子集 ${\displaystyle S\subset M}$  的右商定义了一个等价关系，叫做 S 的右语法关系。它给出为

${\displaystyle \sim _{S}\;\,=\,\{(s,t)\in M\times M\vert S/s=S/t\}}$ 

关系明显是有有限索引的(有有限数目个等价类)，当且仅当右商族有限的；就是说如果

${\displaystyle \{S/m\vert m\in M\}}$ 

是有限的。在这种情况下，S 是可识别语言，就是说可被有限状态自动机识别的语言。这个在语法幺半群中详细讨论。

右取消

字符串 s 与字母 a 的右取消是切除字符串 s 右手端的字母 a 的首次出现得到的字符串。它被指示为 ${\displaystyle s\div a}$  并被递归的定义为

${\displaystyle (sa)\div b={\begin{cases}s&{\mbox{if }}a=b\\(s\div b)a&{\mbox{if }}a\neq b\end{cases}}}$ 

空串总是可取消的:

${\displaystyle \varepsilon \div a=\varepsilon }$ 

明显的，右取消和投影可交换:

${\displaystyle \pi _{\Sigma }(s)\div a=\pi _{\Sigma }(s\div a)}$ 

前缀

字符串的前缀是关于给定语言一个字符串的所有前缀的集合:

${\displaystyle \operatorname {Pref} _{L}(s)=\{t\vert s=tu{\mbox{ for }}u\in L\}}$ 

语言的前缀闭包是

${\displaystyle \operatorname {Pref} (L)=\bigcup _{s\in L}\operatorname {Pref} _{L}(s)}$ 

一个语言叫做前缀闭合的，如果 ${\displaystyle \operatorname {Pref} (L)=L}$ 。明显的，前缀闭包算子是幂等的:

${\displaystyle \operatorname {Pref} (\operatorname {Pref} (L))=\operatorname {Pref} (L)}$ 

前缀关系是二元关系 ${\displaystyle \sqsubseteq }$ ，有着 ${\displaystyle s\sqsubseteq t}$  当且仅当 ${\displaystyle s\in \operatorname {Pref} _{L}(t)}$ 。

前缀文法生成(关于这个文法)前缀闭合的语言。

参见

• 字符串函数（C 语言）
• 字符串函数（C++）
• Levi引理

引用

• John E. Hopcroft and Jeffrey D. Ullman, Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, Addison-Wesley Publishing, Reading Massachusetts, 1979. ISBN 0-201-02988-X. (See chapter 3.)