增失根

增根及失根，是解數學方程式时可能產生多出不符合原題目的根（解答），或是忽略正確的根的情況。

增根

代數的基本原則之一，是在不改變方程式的解的情況下，用相同的式子乘以方程式的兩邊。然而，嚴格來說，這是不正確的，因為乘以相同的式子可能會產生原方程式沒有出現的解。下面是一个会产生增根的方程的例子：

${\displaystyle {\frac {1}{x}}={\frac {2}{x}}}$ 

等式两边乘以${\displaystyle x^{2}}$ ，得

${\displaystyle x=2x}$ 

得${\displaystyle x=0}$ 

但将${\displaystyle x=0}$ 代入原方程中，得

${\displaystyle {\frac {1}{0}}={\frac {2}{0}}}$ 

此时，出现了分母为零的情况，所以这是一个增根，是等式两边乘以零所致。

失根

下面是一个可能失根的方程的例子：

${\displaystyle x^{2}=2x}$ 

运算时可能错误地将两边除以${\displaystyle x}$ ，得

${\displaystyle x=2}$ 

这个根固然是正确的，但忽略了另一个正确的根${\displaystyle x=0}$ ，是等式两边除以零所致。

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• 无效证明