否定後件

在经典逻辑中，否定后件（拉丁語：modus tollens）有如下论证形式：

如果P，则Q。

非Q。

所以，非P。

它也可也被认为是否定结论，是一种有效的认证形式。

否定后件有时会与歸謬法 (Proof by contradiction)（假设命题的否定成立，证明这会导致矛盾）或者反證法 (Proof by contrapositive)（证明如果P则Q，通过证明如果非Q则非P的方法实现）相混淆。

例子

歸謬法的例子如下：

• 假定${\displaystyle G}$ 是一個有限循環群，且${\displaystyle G}$ 是單群，則${\displaystyle G}$ 的階為質數。
• 也就是說，
• 若${\displaystyle G}$ 的階不是質數，則${\displaystyle G}$ 不是有限循環群，或者${\displaystyle G}$ 不是單群。
• 證明：
  • 假定原論述不成立，那麼就表示「${\displaystyle G}$ 的階不是質數」是錯的
  • 也表示說「若${\displaystyle G}$ 的階不是質數，則${\displaystyle G}$ 不是有限循環群，或者${\displaystyle G}$ 不是單群。」是錯的
  • 這就表示「有個集合${\displaystyle G}$ 是有限循環群，且${\displaystyle G}$ 是單群」，而且「${\displaystyle G}$ 的階不是質數」
  • 現在假定${\displaystyle G}$ 的階是${\displaystyle n}$ ，生成元是${\displaystyle a}$ ，${\displaystyle G}$ 單位元則記做${\displaystyle e}$ ，因此有${\displaystyle e=a^{n}}$ 
  • 由於${\displaystyle G}$ 是循環群，因此${\displaystyle G}$ 且${\displaystyle a}$ 是生成元，因此${\displaystyle G}$ 的所有元素都可表示成${\displaystyle a^{k}}$ 的形式，其中${\displaystyle 0\leq k<n}$ ；又${\displaystyle n}$ 不是不是質數，因此存在兩個大於等於2的正整數${\displaystyle p}$ 和${\displaystyle q}$ ，使得${\displaystyle n=pq}$ 
  • 由此可知，${\displaystyle a^{p}}$ 是${\displaystyle G}$ 的元素，且${\displaystyle (a^{p})^{q}=a^{pq}=a^{n}=e}$ 
  • 所有形如${\displaystyle (a^{p})^{y}=a^{py}}$ 的元素可構成${\displaystyle G}$ 的一個真子群${\displaystyle H}$ ，且${\displaystyle H\neq \{e\}}$ 。
  • 由於${\displaystyle G}$ 是循環群，因此${\displaystyle G}$ 是一個交換群。
  • 由於${\displaystyle G}$ 是交換群，因此${\displaystyle G}$ 的所有子群都是正規子群。
  • ${\displaystyle H}$ 是${\displaystyle G}$ 的一個真子群。
  • ${\displaystyle H}$ 是${\displaystyle G}$ 的一個正規子群。
  • ${\displaystyle G}$ 有${\displaystyle \{e\}}$ 和自身以外的正規子群，此與${\displaystyle G}$ 是單群的假設矛盾。
  • 這表示先前的假設「『若${\displaystyle G}$ 的階不是質數，則${\displaystyle G}$ 不是有限循環群，或者${\displaystyle G}$ 不是單群。』是錯的」這條是錯的。
  • 因此原論述「假定${\displaystyle G}$ 是一個有限循環群，且${\displaystyle G}$ 是單群，則${\displaystyle G}$ 的階為質數。」是對的。

证明

步骤	命题	推论
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	已知
2	${\displaystyle \neg Q}$	已知
3	${\displaystyle \neg P\lor Q}$	實質條件 (1)
4	${\displaystyle \neg P}$	選言三段論 (3,2)

参见

• 肯定前件
• 肯定後件（一種邏輯上無效的論證形式）
• 否定前件（一種邏輯上無效的論證形式）
• 推理规则