合同 (數學)

在數學中，合同（英語：Congruence，符號：≅）做為一個一般性的概念，指的是一組物件之間的等價關係。例如：

• 幾何中的合同或稱全等，亦即等距同构，一般來說，就是相同的形狀與大小。
• 算術中的合同，亦即同餘。同餘是抽象代數中的同餘關係的原型^[1]。同餘所使用的符號是 ≡。
• 抽象代數中的合同，亦即同餘關係，這是代數結構之間在結構上相容的等價關係。
• 矩陣論中的合同，亦即合同矩阵。若存在非奇異矩陣${\displaystyle P}$，使得 ${\displaystyle P^{T}AP=B}$，則稱${\displaystyle A,B}$是合同或相合的。

合同符號的歷史

萊布尼茲最先發明了相似與合同的符號^[2]，他使用波浪號（${\displaystyle \sim }$ ）來表示幾何形的相似，另在波浪號下方加上一條橫線（${\displaystyle \simeq }$ ）來表示幾何形的合同。十八世紀的數學家將相似符號（${\displaystyle \sim }$ ）與等號（${\displaystyle =}$ ）結合在一起（${\displaystyle \cong }$ ），更能表達出合同的意義，亦即相似與相等的重合概念。

高斯於1801年出版了《算術研究》，其中使用三橫線（${\displaystyle \equiv }$ ）來表示算術上的合同^[3]。高斯的學生黎曼使用這個符號來表示幾何上的相同（identical，兩個幾何形經由移動與轉動而完全疊合）或是算術上的恒等（identity）^[4]，稍後的數學家則使用這個符號來表示幾何上的合同，並在大英帝國流行起來。因此，在十九世紀的英國，算術與幾何的合同都是用${\displaystyle \equiv }$ 符號來表示。

最早採用波浪符號（${\displaystyle \sim }$ 與${\displaystyle \cong }$ ）的美國數學家是 G. A. Hill 與 G. B. Halsted。二十世紀的美國數學家群起使用${\displaystyle \sim }$ 來表示幾何上的相似，${\displaystyle \cong }$ 表示幾何上的合同，而成為現代的標準。算術的合同符號仍舊沿用高斯的符號。

參考來源

1. e-Study Guide for: Handbook of Mathematics: Mathematics, Mathematics, p.174. [2014-10-22]. （原始内容于2014-10-21）. 
2. A History Of Mathematical Notations Vol I: 372. Signs for similarity and congruence
3. GDZ > Disquisitiones Arithmeticae
4. A History Of Mathematical Notations Vol I: 374

外部連結

• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C)（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Origins of some arithmetic terms - Pballew.net#congruen
• The historical development of group theoretical ideas in connection with Euclid's axiom of congruence.（页面存档备份，存于互联网档案馆）

參見

• 全等
• 同餘
• 同餘關係
• 合同矩阵