諧振子, 此條目没有列出任何参考或来源, 2010年2月13日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 本文描述的是古典力學中的, 量子力學中的請見量子與量子阻尼, 古典力學中, 一個, 英語, harmonic, oscillator, 乃一個系統, 當其從平衡位置位移, 會感受到一個恢復力f, displaystyle, 正比於位移x, displaystyle, 並遵守虎克定律, 一個無阻尼彈簧, 質量體系統構成一個簡, displ. 此條目没有列出任何参考或来源 2010年2月13日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 本文描述的是古典力學中的諧振子 量子力學中的諧振子請見量子諧振子與量子阻尼諧振子 古典力學中 一個諧振子 英語 harmonic oscillator 乃一個系統 當其從平衡位置位移 會感受到一個恢復力F displaystyle F 正比於位移x displaystyle x 並遵守虎克定律 一個無阻尼彈簧 質量體系統構成一個簡諧振子 F k x displaystyle F kx 其中k displaystyle k 是一個正值常數 如果F displaystyle F 是系統僅受的力 則系統稱作簡諧振子 簡單和諧振子 而其進行簡諧運動 正中央為平衡點的正弦或餘弦的振動 且振幅與頻率都是常數 頻率跟振幅無關 若同時存在一摩擦力正比於速度 則會存在阻尼現象 稱這諧振子為阻尼振子 在這樣的情形 振動頻率小於無阻尼情形 且振幅隨著時間減小 若同時存在跟時間相關的外力 諧振子則稱作是受驅振子 力學上的例子包括了單擺 限於小角度位移之近似 連接到彈簧的質量體 以及聲學系統 其他的相類系統包括了電學諧振子 electrical harmonic oscillator 參見RLC電路 目录 1 簡諧振子 2 受驅諧振子 3 阻尼諧振子 4 受驅阻尼振子 5 完整數學描述 5 1 重要項簡諧振子 编辑簡諧振子沒有驅動力 也沒有摩擦 阻尼 所以淨力單純為 F k x displaystyle F kx nbsp 利用牛頓第二定律 F m a k x displaystyle F ma kx nbsp 則加速度a displaystyle a nbsp 等於是x displaystyle x nbsp 的二次微分導數 m d 2 x d t 2 k x displaystyle m frac mathrm d 2 x mathrm d t 2 kx nbsp 若定義w 0 2 k m displaystyle omega 0 2 k m nbsp 則方程式可以寫為如下 d 2 x d t 2 w 0 2 x 0 displaystyle frac mathrm d 2 x mathrm d t 2 omega 0 2 x 0 nbsp 可以觀察到 d 2 x d t 2 x d x d t d x d x d x d x d x d t d x d x x displaystyle frac mathrm d 2 x mathrm d t 2 ddot x frac mathrm d dot x mathrm d t frac mathrm d x mathrm d x frac mathrm d dot x mathrm d x frac mathrm d x mathrm d t frac mathrm d dot x mathrm d x dot x nbsp 然後代回原式得到 d x d x x w 0 2 x 0 displaystyle frac mathrm d dot x mathrm d x dot x omega 0 2 x 0 nbsp d x x w 0 2 x d x 0 displaystyle mathrm d dot x cdot dot x omega 0 2 x cdot mathrm d x 0 nbsp 積分可得 x 2 w 0 2 x 2 K displaystyle dot x 2 omega 0 2 x 2 K nbsp 其中K是積分常數 設K A w0 2 x 2 A 2 w 0 2 w 0 2 x 2 displaystyle dot x 2 A 2 omega 0 2 omega 0 2 x 2 nbsp x w 0 A 2 x 2 displaystyle dot x pm omega 0 sqrt A 2 x 2 nbsp d x A 2 x 2 w 0 d t displaystyle frac mathrm d x pm sqrt A 2 x 2 omega 0 mathrm d t nbsp 經過積分 結果 包括積分常數f 為 arcsin x A w 0 t ϕ arccos x A w 0 t ϕ displaystyle begin cases arcsin frac x A omega 0 t phi arccos frac x A omega 0 t phi end cases nbsp 並有一般解 x A cos w 0 t ϕ displaystyle x A cos omega 0 t phi nbsp 其中振幅A displaystyle A nbsp 以及相位ϕ displaystyle phi nbsp 可透過初始條件來決定 另外也可以將一般解寫成 x A sin w 0 t ϕ displaystyle x A sin omega 0 t phi nbsp 其中ϕ displaystyle phi nbsp 的值與前面形式相比 偏移了p 2 displaystyle pi 2 nbsp 又可以寫作 x A sin w 0 t B cos w 0 t displaystyle x A sin omega 0 t B cos omega 0 t nbsp 其中A displaystyle A nbsp 與B displaystyle B nbsp 為透過初始條件決定的常數 以替代前面形式的A displaystyle A nbsp 與ϕ displaystyle phi nbsp 振動頻率則為 f w 0 2 p displaystyle f frac omega 0 2 pi nbsp 動能為 T 1 2 m d x d t 2 1 2 k A 2 sin 2 w 0 t ϕ displaystyle T frac 1 2 m left frac mathrm d x mathrm d t right 2 frac 1 2 kA 2 sin 2 omega 0 t phi nbsp 以及勢能 位能 為 U 1 2 k x 2 1 2 k A 2 cos 2 w 0 t ϕ displaystyle U frac 1 2 kx 2 frac 1 2 kA 2 cos 2 omega 0 t phi nbsp 所以系統總能為定值 E 1 2 k A 2 displaystyle E frac 1 2 kA 2 nbsp 受驅諧振子 编辑一受驅諧振子滿足如下非齊次 nonhomogeneous 二階線性微分方程 d 2 x d t 2 w 0 2 x A 0 cos w t displaystyle frac mathrm d 2 x mathrm d t 2 omega 0 2 x A 0 cos omega t nbsp dd 其中A 0 displaystyle A 0 nbsp 是驅動振幅而w displaystyle omega nbsp 是驅動頻率 針對的是一弦波式的驅動機制 這樣的系統出現在交流LC 電感L 電容C 電路以及理想化的彈簧系統 沒有內部力學阻力或外部的空氣阻力 阻尼諧振子 编辑一阻尼諧振子滿足如下二階微分方程 d 2 x d t 2 b m d x d t w 0 2 x 0 displaystyle frac mathrm d 2 x mathrm d t 2 frac b m frac mathrm d x mathrm d t omega 0 2 x 0 nbsp 其中b displaystyle b nbsp 是由實驗決定的阻尼常數 滿足關係式F b v displaystyle F bv nbsp 遵守此方程式的系統 其中一例為置於水中的加權彈簧 weighted spring 若假設水所施的阻尼力與速度v displaystyle v nbsp 呈線性比例關係 阻尼諧振子的頻率為 w 1 w 0 2 R m 2 displaystyle omega 1 sqrt omega 0 2 R m 2 nbsp 其中 R m b 2 m displaystyle R m frac b 2m nbsp 受驅阻尼振子 编辑受驅阻尼振子滿足方程式 m d 2 x d t 2 r d x d t k x F 0 cos w t displaystyle m frac mathrm d 2 x mathrm d t 2 r frac mathrm d x mathrm d t kx F 0 cos omega t nbsp 其一般解為兩個解的和 一為暫態解 無驅動阻尼諧振子之齊次常微分方程的解 與初始條件相關 另一為穩態解 非齊次常微分方程式之特殊解 與初始條件無關 只與驅動頻率 驅動力 阻尼力有關 穩態解為 x t F 0 Z m w sin w t ϕ displaystyle x t frac F 0 Z m omega sin omega t phi nbsp dd dd dd 其中 Z m r 2 w m k w 2 displaystyle Z m sqrt r 2 left omega m frac k omega right 2 nbsp 為阻抗 impedance 或線性響應函數 linear response function 之絕對值 Z r i w m k w displaystyle Z r i left omega m frac k omega right nbsp 而 ϕ arctan w m k w r displaystyle phi arctan left frac omega m frac k omega r right nbsp 為相對於驅動力 相位定為0 的振動相位 可以觀察到 當在某特定驅動頻率w displaystyle omega nbsp 時 振子振動之振幅 相對於一給定之F 0 displaystyle F 0 nbsp 達到最大 這發生在頻率為 w r k m 2 r 2 m 2 displaystyle omega r sqrt frac k m 2 left frac r 2m right 2 nbsp 之時 而此現象稱之為 位移上的 共振 總結來說 在穩態時 振動頻率等同於驅動力的頻率 但振動與驅動力在相位上有偏移 且振幅大小與驅動頻率相關 當驅動頻率與振動系統偏好 共振 頻率相同時 振幅達到最大 例子 RLC電路 電阻類比於阻尼 完整數學描述 编辑多數諧振子 至少近似上地說 是在解以下的微分方程式 d 2 x d t 2 b m d x d t w 0 2 x A 0 cos w t displaystyle frac mathrm d 2 x mathrm d t 2 frac b m frac mathrm d x mathrm d t omega 0 2 x A 0 cos omega t nbsp 其中t是時間 b是阻尼常數 wo是本徵角頻率 而Aocos wt 代表驅動系統的某種事物 其振幅Ao而角頻率w x是進行振盪的被測量量 可以是位置 電流或其他任何可能的物理量 角頻率與頻率f有關 關係式為 f w 2 p displaystyle f frac omega 2 pi nbsp 重要項 编辑 振幅 偏離平衡點的最大的位移量 週期 系統完成一個振盪循環所需的時間 為頻率的倒數 頻率 單位時間內系統執行的循環總數量 通常以赫茲 1 秒為量度 角頻率 w 2 p f displaystyle omega 2 pi f nbsp 相位 系统完成了循环的多少 开始时 系统的相位为零 完成了循环的一半时 系统的相位为p displaystyle pi nbsp 初始條件 t 0时系统的状态 取自 https zh wikipedia org w index php title 諧振子 amp oldid 38802412, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,