受限玻尔兹曼机

受限玻尔兹曼机（英語：restricted Boltzmann machine, RBM）是一种可通过输入数据集学习概率分布的随机生成神经网络。RBM最初由发明者保罗·斯模棱斯基（英语：Paul Smolensky）于1986年命名为簧风琴（Harmonium）^[1]，但直到杰弗里·辛顿及其合作者在2000年代中叶发明快速学习算法后，受限玻兹曼机才变得知名。受限玻兹曼机在降维^[2]、分类^[3]、协同过滤^[4]、特征学习^[5]和主题建模^[6]中得到了应用。根据任务的不同，受限玻兹曼机可以使用监督学习或无监督学习的方法进行训练。

包含三个可见单元和四个隐单元的受限玻兹曼机示意图（不包含偏置节点）

正如名字所提示的那样，受限玻兹曼机是一种玻兹曼机的变体，但限定模型必须为二分图。模型中包含对应输入参数的输入（可见）单元和对应训练结果的隐单元，图中的每条边必须连接一个可见单元和一个隐单元。（与此相对，“无限制”玻兹曼机包含隐单元间的边，使之成为循环神经网络。）这一限定使得相比一般玻兹曼机更高效的训练算法成为可能，特别是基于梯度的对比分歧（contrastive divergence）算法^[7]。

受限玻兹曼机也可被用于深度学习网络。具体地，深度信念网络可使用多个RBM堆叠而成，并可使用梯度下降法和反向传播算法进行调优^[8]。

结构

标准的受限玻尔兹曼机由二值（布尔/伯努利）隐层和可见层单元组成。权重矩阵${\displaystyle W=(w_{i,j})}$ 中的每个元素指定了隐层单元${\displaystyle h_{i}}$ 和可见层单元${\displaystyle v_{j}}$ 之间边的权重。此外对于每个可见层单元${\displaystyle v_{i}}$ 有偏置${\displaystyle a_{i}}$ ，对每个隐层单元${\displaystyle h_{j}}$ 有偏置${\displaystyle b_{j}}$ 。在这些定义下，一种受限玻尔兹曼机配置（即给定每个单元取值）的“能量”(v,h)被定义为

${\displaystyle E(v,h)=-\sum _{i}a_{i}v_{i}-\sum _{j}b_{j}h_{j}-\sum _{i}\sum _{j}h_{j}w_{i,j}v_{i}}$ 

或者用矩阵的形式表示如下：

${\displaystyle E(v,h)=-a^{\mathrm {T} }v-b^{\mathrm {T} }h-h^{\mathrm {T} }Wv}$ 

这一能量函数的形式与霍普菲尔德神经网络相似。在一般的玻尔兹曼机中，隐层和可见层之间的联合概率分布由能量函数给出：^[9]

${\displaystyle P(v,h)={\frac {1}{Z}}e^{-E(v,h)}}$ 

其中，${\displaystyle Z}$ 为配分函数，定义为在节点的所有可能取值下${\displaystyle e^{-E(v,h)}}$ 的和（亦即使得概率分布和为1的归一化常数）。类似地，可见层取值的边缘分布可通过对所有隐层配置求和得到：^[9]

${\displaystyle P(v)={\frac {1}{Z}}\sum _{h}e^{-E(v,h)}}$ 

由于RBM为一个二分图，层内没有边相连，因而隐层是否激活在给定可见层节点取值的情况下是条件独立的。类似地，可见层节点的激活状态在给定隐层取值的情况下也条件独立^[7]。亦即，对${\displaystyle m}$ 个可见层节点和${\displaystyle n}$ 个隐层节点，可见层的配置v对于隐层配置h的条件概率如下：

${\displaystyle P(v|h)=\prod _{i=1}^{m}P(v_{i}|h)}$ .

类似地，h对于v的条件概率为

${\displaystyle P(h|v)=\prod _{j=1}^{n}P(h_{j}|v)}$ .

其中，单个节点的激活概率为

${\displaystyle P(h_{j}=1|v)=\sigma \left(b_{j}+\sum _{i=1}^{m}w_{i,j}v_{i}\right)\,}$ 和${\displaystyle \,P(v_{i}=1|h)=\sigma \left(a_{i}+\sum _{j=1}^{n}w_{i,j}h_{j}\right)}$ 

其中${\displaystyle \sigma }$ 代表逻辑函数。

与其他模型的关系

受限玻尔兹曼机是玻尔兹曼机和马尔科夫随机场的一种特例^[10][11]。这些概率图模型可以对应到因子分析^[12]。

训练算法

受限玻尔兹曼机的训练目标是针对某一训练集${\displaystyle V}$ ，最大化概率的乘积。其中，${\displaystyle V}$ 被视为一矩阵，每个行向量作为一个可见单元向量${\displaystyle v}$ ：

${\displaystyle \arg \max _{W}\prod _{v\in V}P(v)}$ 

或者，等价地，最大化${\displaystyle V}$ 的对数概率期望：^[10][11]

${\displaystyle \arg \max _{W}\mathbb {E} \left[\sum _{v\in V}\log P(v)\right]}$ 

训练受限玻尔兹曼机，即最优化权重矩阵${\displaystyle W}$ ，最常用的算法是杰弗里·辛顿提出的对比分歧（contrastive divergence，CD）算法。这一算法最早被用于训练辛顿提出的“专家积”模型^[13]。这一算法在梯度下降的过程中使用吉布斯采样完成对权重的更新，与训练前馈神经网络中利用反向传播算法类似。

基本的针对一个样本的单步对比分歧（CD-1）步骤可被总结如下：

1. 取一个训练样本v，计算隐层节点的概率，在此基础上从这一概率分布中获取一个隐层节点激活向量的样本h；
2. 计算v和h的外积，称为“正梯度”；
3. 从h获取一个重构的可见层节点的激活向量样本v'，此后从v'再次获得一个隐层节点的激活向量样本h'；
4. 计算v'和h'的外积，称为“负梯度”；
5. 使用正梯度和负梯度的差以一定的学习率更新权重${\displaystyle w_{i,j}}$ ：${\displaystyle \Delta w_{i,j}=\epsilon (vh^{\mathsf {T}}-v'h'^{\mathsf {T}})}$ 。

偏置a和b也可以使用类似的方法更新。

参见

• 自編碼
• 自编码器
• 深度学习
• Hopfield神經網絡

参考资料

1. Smolensky, Paulgengxin. Chapter 6: Information Processing in Dynamical Systems: Foundations of Harmony Theory. Rumelhart, David E.; McLelland, James L. (编). (PDF). MIT Press. 1986: 194–281 [2014-09-16]. ISBN 0-262-68053-X. （原始内容 (PDF)存档于2013-06-13）. 
2. G. E. Hinton, R. R. Salakhutdinov. Reducing the Dimensionality of Data with Neural Networks. Science. 2006-07-28, 313 (5786): 504–507 [2018-04-02]. ISSN 0036-8075. doi:10.1126/science.1127647. （原始内容于2018-03-20） （英语）. 
3. Hugo Larochelle, Yoshua Bengio. Classification using discriminative restricted Boltzmann machines. ACM: 536–543. 2008-07-05 [2018-04-02]. ISBN 9781605582054. doi:10.1145/1390156.1390224. 
4. Salakhutdinov, R.; Mnih, A.; Hinton, G. Restricted Boltzmann machines for collaborative filtering. Proceedings of the 24th international conference on Machine learning - ICML '07: 791. 2007. ISBN 9781595937933. doi:10.1145/1273496.1273596. 
5. Coates, Adam; Lee, Honglak; Ng, Andrew Y. (PDF). International Conference on Artificial Intelligence and Statistics (AISTATS). 2011 [2014-09-16]. （原始内容 (PDF)存档于2013-05-10）. 
6. Ruslan Salakhutdinov and Geoffrey Hinton (2010). Replicated softmax: an undirected topic model （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Neural Information Processing Systems 23.
7. Miguel Á. Carreira-Perpiñán and Geoffrey Hinton (2005). On contrastive divergence learning. Artificial Intelligence and Statistics.
8. Hinton, G. Deep belief networks. Scholarpedia. 2009, 4 (5): 5947. Bibcode:2009SchpJ...4.5947H. doi:10.4249/scholarpedia.5947. 
9. Geoffrey Hinton (2010). A Practical Guide to Training Restricted Boltzmann Machines （页面存档备份，存于互联网档案馆）. UTML TR 2010–003, University of Toronto.
10. Sutskever, Ilya; Tieleman, Tijmen. (PDF). Proc. 13th Int'l Conf. on AI and Statistics (AISTATS). 2010 [2014-09-16]. （原始内容 (PDF)存档于2015-06-10）. 
11. Asja Fischer and Christian Igel. Training Restricted Boltzmann Machines: An Introduction （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Pattern Recognition 47, pp. 25-39, 2014
12. María Angélica Cueto; Jason Morton; Bernd Sturmfels. Geometry of the restricted Boltzmann machine (PDF). Algebraic Methods in Statistics and Probability (American Mathematical Society). 2010, 516. arXiv:0908.4425  . ^{[永久失效連結]}
13. Geoffrey E. Hinton. Training Products of Experts by Minimizing Contrastive Divergence. Neural Computation. 2006-03-30, 14 (8): 1771–1800 [2018-04-02]. doi:10.1162/089976602760128018. （原始内容于2018-11-27） （英语）. 

外部链接

• Introduction to Restricted Boltzmann Machines（页面存档备份，存于互联网档案馆）. Edwin Chen's blog, July 18, 2011.