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^ 3.03.1Shepard, Donald. A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data. Proceedings of the 1968 ACM National Conference: 517–524. 1968. doi:10.1145/800186.810616.
一月 01, 1970
反距离加权, 英語, inverse, distance, weighting, 是一种在有已知的离散数据点的情形下进行多元插值, 英语, multivariate, interpolation, 的确定性算法, 赋给未知点的值是用已知点的值的加權平均數计算得出的, 该算法也可在空间自相关分析, 例如莫兰指数, 中用于构建空间权重矩阵, 该方法的名称来自其加权的方式, 未知点到每个已知点的距离的倒数, 目录, 问题的定义, 谢泼德法, shepard, method, 历史参考, 基本形式, 一维下的示例, 调整谢. 反距离加权 英語 inverse distance weighting IDW 是一种在有已知的离散数据点的情形下进行多元插值 英语 Multivariate interpolation 的确定性算法 赋给未知点的值是用已知点的值的加權平均數计算得出的 该算法也可在空间自相关分析 例如莫兰指数 中用于构建空间权重矩阵 1 该方法的名称来自其加权的方式 未知点到每个已知点的距离的倒数 目录 1 问题的定义 2 谢泼德法 Shepard s method 2 1 历史参考 2 2 基本形式 2 3 一维下的示例 2 4 调整谢泼德法 3 参见 4 参考文献问题的定义 编辑对于给定的离散数据点 我们希望以一个函数u displaystyle u nbsp 对研究区域进行插值 u x x R x D R n displaystyle u x x to mathbb R quad x in mathbf D subset mathbb R n nbsp 其中D displaystyle mathbf D nbsp 是研究区域 N displaystyle N nbsp 个已知数据点可以视为元组列表 x 1 u 1 x 2 u 2 x N u N displaystyle x 1 u 1 x 2 u 2 x N u N nbsp 该函数应当是 平滑的 连续且一次可微 确定的 u x i u i displaystyle u x i u i nbsp 并满足用户对研究的现象的直观预期 此外 该功能应能够以合理成本在电脑应用上实现 如今 基本实现方法中可能会用到并行计算 谢泼德法 Shepard s method 编辑历史参考 编辑 自1965年起 在哈佛计算机图形和空间分析实验室 各专业的科学家汇聚一堂 重新思考现在称作 地理信息系统 的各种问题 2 实验室工作的推动者霍华德 费舍尔 Howard Fisher 构思了一种改良的计算机绘图程序 SYMAP 其设计伊始 费舍尔就希望对插值进行改进 他向哈佛大学新生展示了SYMAP的进展 而后许多新生参与了实验室活动 一位大一新生唐纳德 谢泼德 Donald Shepard 决定对SYMAP中的插值法进行大改 随后发表了他1968年的著名论文 3 谢泼德的算法也受到William Warntz和实验室其他从事空间分析工作的人的理论方法的影响 他用距离的指数进行了许多实验 决定更接近重力模型 2的指数 谢泼德不仅实现了基本的反距离加权 还允许障碍 包括可渗透的和绝对的 插值 其他研究机构此时也在研究插值 特别是堪萨斯大学及其SURFACE II计划 但SYMAP的功能仍是最先进的 尽管是由本科生编写的 基本形式 编辑 nbsp 来自表面上的散点在不同幂参数p下的谢泼德插值z exp x 2 y 2 displaystyle z exp x 2 y 2 nbsp 给定一组样本点 x i u i for x i R n u i R i 1 N displaystyle mathbf x i u i text for mathbf x i in mathbb R n u i in mathbb R i 1 N nbsp 反距离加权插值函数u x R n R displaystyle u mathbf x mathbb R n to mathbb R nbsp 定义为 u x i 1 N w i x u i i 1 N w i x if d x x i 0 for all i u i if d x x i 0 for some i displaystyle u mathbf x begin cases dfrac sum i 1 N w i mathbf x u i sum i 1 N w i mathbf x amp text if d mathbf x mathbf x i neq 0 text for all i u i amp text if d mathbf x mathbf x i 0 text for some i end cases nbsp 其中 w i x 1 d x x i p displaystyle w i mathbf x frac 1 d mathbf x mathbf x i p nbsp 这是一个简单的反距离加权函数 其定义由谢泼德提出 3 x表示一个被插值点 未知点 xi表示一个节点 已知点 d displaystyle d nbsp 是从已知点xi到未知点x的给定距离 度规算符 N是插值中使用的已知点的总数 并且p displaystyle p nbsp 是一个正实数 称为幂参数 其中 权重随着与已知点的距离的增加而减小 p displaystyle p nbsp 值越大 则最邻近已知点的对插值的影响越大 当p displaystyle p nbsp 足够大时 插值结果形似马赛克多边形 沃罗诺伊图 每一个多边形内的数值几乎为恒定值 对于二维面 幂参数p 2 displaystyle p leq 2 nbsp 时 插值由距离较远的点主导 因为密度为r displaystyle rho nbsp 邻近节点距离为r 0 displaystyle r 0 nbsp 至R displaystyle R nbsp 之间的数据点集 权重的加和约为 j w j r 0 R 2 p r r d r r p 2 p r r 0 R r 1 p d r displaystyle sum j w j approx int r 0 R frac 2 pi r rho dr r p 2 pi rho int r 0 R r 1 p dr nbsp 其在R displaystyle R rightarrow infty nbsp 且p 2 displaystyle p leq 2 nbsp 时发散 对于M维 同样的结论适用于p M displaystyle p leq M nbsp 对于p displaystyle p nbsp 值的选择 可以考虑插值中所需的平滑程度 被插值的样本密度和分布 以及允许单个样本影响周围样本的最大距离 谢泼德法是最小化与插值点 x u 的元组和插值点 xi ui 的i元组之间的偏差度量相关的函数的结果 定义为 ϕ x u i 0 N u u i 2 d x x i p 1 p displaystyle phi mathbf x u left sum i 0 N frac u u i 2 d mathbf x mathbf x i p right frac 1 p nbsp 从最小化条件导出 ϕ x u u 0 displaystyle frac partial phi mathbf x u partial u 0 nbsp 该方法容易扩展到其他维数的空间 它实际上是将拉格朗日插值法推广到多维空间 为三元插值设计的修改版算法由Robert J Renka提出 Netlib的toms库中的算法661提供该算法 一维下的示例 编辑 nbsp Shepard法在一个维度下的插值 基于4个样本数据点 p 2 调整谢泼德法 编辑 谢泼德法的另一个修改版是仅使用半径R范围内的最近邻 而不是完整样本 来计算插值 在这种情况下 权重略有修改 w k x max 0 R d x x k R d x x k 2 displaystyle w k mathbf x left frac max 0 R d mathbf x mathbf x k Rd mathbf x mathbf x k right 2 nbsp 当与快速空间搜索结构 如k d树 结合使用时 它即为适用于大尺度问题的高效N log N插值方法 参见 编辑距离衰减 核密度估计参考文献 编辑 Spatial Autocorrelation Global Moran s I Spatial Statistics ArcGIS Pro Documentation ESRI 13 September 2022 原始内容存档于2022 10 31 Chrisman Nicholas History of the Harvard Laboratory for Computer Graphics a Poster Exhibit PDF 3 0 3 1 Shepard Donald A two dimensional interpolation function for irregularly spaced data Proceedings of the 1968 ACM National Conference 517 524 1968 doi 10 1145 800186 810616 取自 https zh wikipedia org w index php title 反距离加权 amp oldid 76309955, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,