核密度估计

核密度估计（英語：Kernel density estimation，縮寫：KDE）是在概率论中用来估计未知的密度函数，属於非参数检验方法之一，由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen(1962)提出，又名Parzen窗（Parzen window）。Ruppert和Cline基于数据集密度函数聚类算法提出修订的核密度估计方法。

100個常態分佈的亂數的核密度估计

核密度估计在估计边界区域的时候会出现边界效应。

在单变量核密度估计的基础上，可以建立风险价值的预测模型。通过对核密度估计变异系数的加权处理，可以建立不同的风险价值的预测模型。

一些比较常用的核函数是： 均匀核函数 ${\displaystyle k(x)={\frac {1}{2}},\;-1\leq x\leq 1}$， 加入带宽${\displaystyle h}$后： ${\displaystyle k_{h}(x)={\frac {1}{2h}},\;-h\leq x\leq h}$。

三角核函数 ${\displaystyle k(x)=1-|x|,\;-1\leq x\leq 1}$， 加入带宽${\displaystyle h}$后： ${\displaystyle k_{h}(x)={\frac {(h-|x|)}{h^{2}}},\;-h\leq x\leq h}$。

伽马核函数 ${\displaystyle k_{x_{i}}(x)={\frac {x^{(\alpha -1)}\exp {(-x\alpha /x_{i})}}{(x_{i}/\alpha )^{\alpha }\Gamma (\alpha )}}}$。

定义

设${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right)}$ 为从单变量分布中抽取的独立同分布样本，给定点${\displaystyle x}$ 有未知的概率密度${\displaystyle f}$ ，我们对估计函数${\displaystyle f}$ 的形状感兴趣，其核密度估计器是

${\displaystyle {\widehat {f}}_{h}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})={\frac {1}{nh}}\sum _{i=1}^{n}K{\Big (}{\frac {x-x_{i}}{h}}{\Big )},}$ 

其中${\displaystyle K}$ 是非负的核函数，带宽${\displaystyle h>0}$ 为平滑参数。带下标h的核被称为缩放核，定义为${\displaystyle K_{h}(x)=1/h\cdot K(x/h)}$ 。直觉上讲，在数据允许的范围内应当选择尽可能小的带宽；然而，偏差和方差之间总有所权衡。

常用的核函数有：均匀核（Uniform）、三角核（Triangular）、双权核（Biweight）、三权核（Triweight）、Epanechnikov核、正态核（Normal）等。从均方误差的角度来看，Epanechnikov核是最佳的^[1]，尽管对于前面列出的核来说，效率的损失很小^[2]。由于其数学特性良好，正态核经常被使用，即${\displaystyle K(x)=\phi (x)}$ ，其中${\displaystyle \phi }$ 是标准正态密度函数。

参考文献

• 唐林俊、杨虎、张洪阳：核密度估计在预测风险价值中的应用 The Application of The Kernel Density Estimates in Predicting VaR，《数学的实践与认识》2005年10期

1. Epanechnikov, V.A. Non-parametric estimation of a multivariate probability density. Theory of Probability and Its Applications. 1969, 14: 153–158. doi:10.1137/1114019. 
2. Wand, M.P; Jones, M.C. Kernel Smoothing. London: Chapman & Hall/CRC. 1995. ISBN 978-0-412-55270-0.