导子

导子（英語：derivation）在抽象代数中是指代数上的一个函数，推广了导数算子的某些特征。明确地，给定一个环或域 k 上一个代数 A，一个 k-导子是一个 k-线性映射 D: A → A，满足莱布尼兹法则：

${\displaystyle D(ab)=(Da)b+a(Db)\ .}$

更一般地，从 A 映到 A-模 M 的一个 k-线性映射 D，满足莱布尼兹法则也称为一个导子。A 所有到自身的 k-导子集合记为 Der_k(A)。从 A 到 A-模 M 的所有 k-导子集合记为 Der_k(A,M)。

导子在不同的数学领域以许多不同的面貌出现。关于一个变量的偏导数是 Rⁿ 上实值可微函数组成的代数上的一个 R-导子。关于一个向量场的李导数是可微流形上可微函数代数上的 R-导子；更一般地，它是流形上张量代数的导子。平彻尔导数（英语：Pincherle derivative）是一个抽象代数上的导子的例子。如果代数 A 非交换，则关于 A 中一个元素的交换子定义了 A 到自身的线性映射，这是 A 的一个 k-导子。一个代数 A 装备一个特定的导子 d 组成了一个微分代数，这自身便是一些研究领域的一个重要对象，比如微分伽罗瓦理论。

性质

莱布尼兹法则本身有一系列直接推论。首先，如果 x₁, x₂, … ,x_n ∈ A，那么由数学归纳法得出

${\displaystyle D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\dots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}\ .}$ 

特别地，如果 A 可交换且 x₁=x₂=…=x_n，那么此公式简化成熟悉的幂法则 D(xⁿ) = nx^n-1D(x)。如果 A 是有单位的，则 D(1) = 0 因为 D(1) = D(1·1) = D(1) + D(1)。从而，因 D 是 k-线性的，推出对所有 x∈k 有 D(x)=0。如果 k ⊂ K 是一个子环，A 是一个 K-代数，则有包含关系

${\displaystyle Der_{K}(A,M)\subset Der_{k}(A,M)\ ,}$ 

因为任何 K-导子当然是一个 k-导子。

从 A 到 M 的 k-导子的集合，Der_k(A,M) 是 k-上的一个模。而且，k-模 Der_k(A) 组成了一个李代数其李括号定义为交换子：

${\displaystyle [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}\ .}$ 

容易验证两个导子的李括号仍然是一个导子。

分次导子

如果我们有一个分次代数 A，D 是 A 上一个阶数 d = |D| 的齐次线性映射，则 D 是一个齐次导子如果

${\displaystyle \scriptstyle {D(ab)=D(a)b+\epsilon ^{|a||D|}aD(b)},\epsilon =\pm 1}$  作用在 A 的齐次元素上。一个分次导子是具有相同 ε 的一些齐次导子的和。

如果交换因子 ε = 1，定义变为通常情形；如果 ε = -1，那么对奇数 |D| 有${\displaystyle \scriptstyle {D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}}$ ，它们称为反导子。

反导子的例子包含作用在微分形式上的外导数与内乘。

超代数（即：Z₂-分次代数）的分次导子经常称为超导子。

另见

• 在初等微分几何中导子是切向量；
• 凯勒微分

参考文献

• Bourbaki, Nicolas, Algebra I, Elements of mathematics, Springer-Verlag, 1989, ISBN 3-540-64243-9 .
• Eisenbud, David, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry 3rd., Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0387942698 .
• Matsumura, Hideyuki, Commutative algebra, Mathematics lecture note series, W. A. Benjamin, 1970, ISBN 978-0805370256 .
• Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W., Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, 1993 [2008-11-13], （原始内容于2021-02-14） .