赵友钦割圆术是元代数学家赵友钦在所著的《革象新书》卷五《乾象周髀》篇研究的割圆术。与刘徽从内接正六角形开始不同,赵氏割圆术从分割内接正方形开始[1]。
如图,圆的半径为r; 内接正方形的边长为 ,由圆心到正方形一边倒垂直距离为 d
d 的延长线与圆周相交点将圆周等分为正八边形。
令正八边形的边长为
设 为分割圆成正16边形之边长,赵友钦正确地推断与的迭代关系:
推而广之:
令 r=1;
……
圆周率 编辑
赵友钦指出,分割越细,正多边形的边数愈多,正多边形越接近圆周。
角数愈多而为方者不复方渐变为圆矣。故自一二次求之至十二次精密已极
他最后将千寸直径的圆周分割为正16384边形,从而获得
三尺一寸四分一厘五毫九丝二忽然有奇
正多边形 | 圆周率近似值 |
---|
4 | 3.121445 |
8 | 3.136548 |
16 | 3.140331 |
32 | 3.141277 |
64 | 3.141513 |
128 | 3.141572 |
256 | 3.141587 |
512 | 3.141591 |
1024 | 3.141592 |
2048 | 3.141592 |
16384 | 3.141592+ |
密率 编辑
南朝祖冲之发现密率:
但这个密率比在以后数百年间,无人问津,直到赵友钦重新提及这个密率分数[2]。
赵友钦在获得
後,他将 3141.592 乘以 113
以一百一十三乘之果得三百五十五尺,此为其法所以极精密也
即:
参见 编辑
参考文献 编辑