刘维尔定理 (复分析)

提示：此条目的主题不是刘维尔定理 (哈密顿力学)或刘维尔定理 (微分代数)。

刘维尔定理是数学中复分析的一个定理，由十九世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数（即在整个复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$上都是全纯函数）的值域进行了刻画。它表明，任何有界的整函数都一定是常数。

比刘维尔定理更进一步的是皮卡定理。後者说明，只要存在两个相异的复数，它们都不属于一个整函数的值域，则这个整函数是常数函数。

简介

整函数是指从复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 射到复数域，并且在整个复数域上都是全纯函数的函数。全纯也称为复可微，是复函数的重要性质。某个函数]${\displaystyle f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ 在某点${\displaystyle z_{0}}$ 全纯，指在点${\displaystyle z_{0}}$ 以及其邻域上有定义，并且以下极限：

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}$ 

存在。全纯函数是复分析中的中心概念。全纯不仅代表着复可微，而且可以证明，全纯函数必然无穷可微，是解析函数。

刘维尔定理说明，任何一个整函数${\displaystyle f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ ，如果存在一个正数${\displaystyle M}$ ，使得对于所有的复数${\displaystyle z}$ ，${\displaystyle f(z)}$ 的模长都小于等于${\displaystyle M}$ ：

${\displaystyle z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M,}$ 

则该函数必定是常数函数。

证明

证明用到了整函数和解析函数的关系。整函数必然是解析函数，设有整函数${\displaystyle f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ ，考虑它关于${\displaystyle z_{0}=0}$ 的解析展开：

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$ 

其中的系数${\displaystyle a_{k}}$ 可以根据柯西积分公式求得：

${\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta }$ 

其中${\displaystyle C_{r}=\{z:\;|z|=r\}}$ 是以0为圆心，半径为${\displaystyle r>0}$ 的圆。依照函数${\displaystyle f}$ 有界的条件，可以估计系数${\displaystyle a_{k}}$ 模长的上界：

${\displaystyle |a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta ^{k+1}|}}|\,d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}|\,d\zeta |\leq {\frac {M}{r^{k}}},}$ 

在以上的估计中，曲线积分为${\displaystyle C_{r}}$ ，其中半径${\displaystyle r}$ 的选择是任意的。当${\displaystyle r}$ 趋于无穷大时，${\displaystyle {\frac {M}{r^{k}}}}$ 趋于0. 因此，让${\displaystyle r}$ 趋于无穷大，便可以推出：对所有的k ≥ 1，都有a_k = 0。这说明，

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=a_{0}}$ 

即是说${\displaystyle f}$ 是常数函数。定理得证。

应用与推论

代数基本定理

主条目：代数基本定理 § 证明二

整函数的大小关系

应用刘维尔定理可以证明，如果一个整函数${\displaystyle f}$ 总比另一个整函数${\displaystyle g}$ 小：${\displaystyle |f|\leqslant |g|}$ ，那么这两个整函数成比例关系：${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,\;f(z)=\kappa \cdot g(z)}$ ，其中${\displaystyle \kappa }$ 是比例常数。

考虑函数${\displaystyle h:\;\;z\;\mapsto {\begin{cases}{\frac {f(z)}{g(z)}}&g(z)\neq 0,\\0&g(z)=0.\end{cases}}}$ 

${\displaystyle |f|\leqslant |g|}$ 说明，函数${\displaystyle h}$ 的模长总小于等于1。另一方面，由于${\displaystyle |f|\leqslant |g|}$ ，所以${\displaystyle {\frac {f(z)}{g(z)}}}$ 的奇点都是可去奇点，可以依照上面的方式拓延为整函数${\displaystyle h}$ 。所以${\displaystyle h}$ 作为一个有界的整函数，根据刘维尔定理，必然是常数函数。这说明${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle g}$ 成比例关系。

次线性整函数

次线性函数，指函数值总小于等于定值乘以变量值的函数。设整函数${\displaystyle f}$ 满足：

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M|z|.}$ 

其中${\displaystyle M}$ 是一个常数系数。考虑${\displaystyle f}$ 的导函数。根据柯西积分公式，

${\displaystyle |f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {\left|f(\zeta )\right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|={\frac {MI_{r}^{z}}{2\pi }}}$ 

其中${\displaystyle C_{r}=\{\zeta ;\;|\zeta -z|=r\}=\{z+r\cdot e^{it};\;t\in [0,2\pi ]\}}$ 是以${\displaystyle z}$ 为圆心，半径为${\displaystyle r}$ 的圆；

${\displaystyle I_{r}^{z}=\oint _{C_{r}}{\frac {\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|z+r\cdot e^{it}\right|}{r}}\mathrm {d} t}$ 

取${\displaystyle r=|z|}$ ，则${\displaystyle \left|z+r\cdot e^{it}\right|\leqslant |z|+r=2r.}$  所以${\displaystyle I_{r}^{z}\leqslant \int _{0}^{2\pi }2\mathrm {d} t=4\pi }$ ，因此

${\displaystyle |f'(z)|\leqslant 2M.}$ 

因此依据刘维尔定理，${\displaystyle f'}$ 是常数函数。另一方面，${\displaystyle |f(0)|\leqslant M|0|}$ ，所以${\displaystyle f(0)=0.}$  综上可知，次线性整函数${\displaystyle f}$ 是线性函数。

皮卡小定理

刘维尔定理可以被用于进一步证明推广了它的皮卡小定理。

参考文献

• Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996.
• Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Liouville’s Boundedness Theorem. MathWorld.