交比, 数学上, 複平面上四点的是, displaystyle, frac, 这个定义可以连续延拓至整个黎曼球面, 即複平面加上无穷远点, 一般来说, 可以定义在射影直线, 黎曼球面就是複射影直線, 在任何仿射坐标卡中, 由上式给出, 是射影几何的不变量, 就是说射影变换保持不变, 从前人们注意到如果四条直线穿过一点p, 第五条直线l不穿过p, 分别与四条直线交于四点, 那么在l上按序取四点的有向长度, 所算出的是独立于l, 它是这四直线系的不变量, 四个複数的为实数当且唯当四点共线或共圆, 对称, 编辑各著作对有. 数学上 複平面上四点的交比是 z 1 z 2 z 3 z 4 z 1 z 3 z 2 z 4 z 1 z 4 z 2 z 3 displaystyle z 1 z 2 z 3 z 4 frac z 1 z 3 z 2 z 4 z 1 z 4 z 2 z 3 这个定义可以连续延拓至整个黎曼球面 即複平面加上无穷远点 一般来说 交比可以定义在射影直线 黎曼球面就是複射影直線 在任何仿射坐标卡中 交比由上式给出 交比是射影几何的不变量 就是说射影变换保持交比不变 从前人们注意到如果四条直线穿过一点P 第五条直线L不穿过P 分别与四条直线交于四点 那么在L上按序取四点的有向长度 所算出的交比是独立于L 它是这四直线系的不变量 四个複数的交比为实数当且唯当四点共线或共圆 对称 编辑各著作对交比有不同定义 不过各定义只相异于某些坐标的置换 一般来说 根据点zi所给出的各种次序 交比可以取六个不同的值 因为四个坐标有24种排列 有些置换保持交比不变 实际上 任意两对坐标对换保持交比 z 1 z 2 z 3 z 4 z 2 z 1 z 4 z 3 z 3 z 4 z 1 z 2 z 4 z 3 z 2 z 1 displaystyle z 1 z 2 z 3 z 4 z 2 z 1 z 4 z 3 z 3 z 4 z 1 z 2 z 4 z 3 z 2 z 1 运用这些对称 交比就有6个可能值 由点的次序决定 z 1 z 2 z 3 z 4 l displaystyle z 1 z 2 z 3 z 4 lambda z 1 z 2 z 4 z 3 1 l displaystyle z 1 z 2 z 4 z 3 1 over lambda z 1 z 3 z 4 z 2 1 1 l displaystyle z 1 z 3 z 4 z 2 1 over 1 lambda z 1 z 3 z 2 z 4 1 l displaystyle z 1 z 3 z 2 z 4 1 lambda z 1 z 4 z 3 z 2 l l 1 displaystyle z 1 z 4 z 3 z 2 lambda over lambda 1 z 1 z 4 z 2 z 3 l 1 l displaystyle z 1 z 4 z 2 z 3 lambda 1 over lambda 从群论来说 对称群S4以置换坐标来作用于交比上 这群作用的核为克莱因四元群 这是保持交比的群 那么有效对称群是其商群 同构于S3 对某些l值会有更强的对称 交比的可能值就少于六个 这些l值对应于S3对黎曼球面的作用的不动点 由以上六个函数给出 等价地 就是在置换群内有非平凡稳定子群的点 第一个这样的集合是 0 1 但若四点 zi 相异 交比不可能取这些值 这些值是当有一对坐标彼此趋近时的极限值 z z 2 z z 4 z 1 z z 3 z 0 displaystyle z z 2 z z 4 z 1 z z 3 z 0 z z z 3 z 4 z 1 z 2 z z 1 displaystyle z z z 3 z 4 z 1 z 2 z z 1 z z 2 z 3 z z 1 z z z 4 displaystyle z z 2 z 3 z z 1 z z z 4 infty 第二个这样的集点是 1 1 2 2 这情况古典上称为 谐和交比 最对称的交比是当l e i p 3 displaystyle lambda e pm i pi 3 这时交比只可能是这两个值 从变换出发 编辑交比为黎曼球面的射影变换所保持 也称为莫比乌斯变换 f z a z b c z d a d b c 0 displaystyle f z frac az b cz d quad ad bc neq 0 所谓它们保持交比就是指 f z 1 f z 2 f z 3 f z 4 z 1 z 2 z 3 z 4 displaystyle f z 1 f z 2 f z 3 f z 4 z 1 z 2 z 3 z 4 作用于黎曼球面上的麦比乌斯变换群有一性质 任意3点集要映射到另外的3点集 都存在唯一的麦比乌斯变换 这个群作用有3重传递性 所以给出黎曼球面上4点 有唯一变换把其中3点映射到点0 1 和 第四点映射到的点 与原来四点的交比有关 要看到这点 注意到 z 1 0 lim w z 1 w z w z displaystyle z 1 0 infty lim w to infty frac z 1 w z w z 所以给出四点 z 1 z 2 z 3 z 4 displaystyle z 1 z 2 z 3 z 4 可以找到唯一变换f作映射 z 2 1 z 3 0 z 4 displaystyle z 2 to 1 z 3 to 0 z 4 to infty 点z 1 displaystyle z 1 就被映射到 z 1 z 2 z 3 z 4 f z 1 displaystyle z 1 z 2 z 3 z 4 f z 1 换个角度看 若把交比看为z 1 displaystyle z 1 的函数 交比是唯一的变换把点 z 2 z 3 z 4 displaystyle z 2 z 3 z 4 映射到 1 0 displaystyle 1 0 infty 高等观点 编辑若四点走近 这理论便有了微分学的一面 从而引领至施瓦茨导数理论 还有更一般的射影联络理论 这些理论被应用在共形场论 取自 https zh wikipedia org w index php title 交比 amp oldid 59904101, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,