Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). "On quadratic variation of martingales". Proceedings - Mathematical Sciences. 124 (3): 457–469.
十月 19, 2023
二次变差, 在数学中, 英語, quadratic, variation, 用于分析随机过程, 例如布朗运动和鞅, 是变差的一种, 目录, 定义, 有限变差过程, 伊藤过程, 半鞅, 另见, 参考资料定义, 编辑设x, displaystyle, nbsp, 是定义在概率空间, displaystyle, omega, mathcal, mathbb, nbsp, 上的实值随机过程, 时间t取非负实数, 其也是一个随机过程, 记做, displaystyle, nbsp, 定义为, displaystyle, nb. 在数学中 二次变差 英語 Quadratic variation 用于分析随机过程 例如布朗运动和鞅 二次变差是变差的一种 目录 1 定义 2 有限变差过程 3 伊藤过程 4 半鞅 5 鞅 6 另见 7 参考资料定义 编辑设X t displaystyle X t nbsp 是定义在概率空间 W F P displaystyle Omega mathcal F mathbb P nbsp 上的实值随机过程 时间t取非负实数 其二次变差也是一个随机过程 记做 X t displaystyle X t nbsp 定义为 X t lim P 0 k 1 n X t k X t k 1 2 displaystyle X t lim P to 0 sum k 1 n X t k X t k 1 2 nbsp 其中P取遍区间 0 t 所有的划分 范数 P displaystyle P nbsp 等于P中最长的子区间的长度 极限使用依概率收敛来定义 更一般地 两个过程X和Y的协变差 或称互变差 为 X Y t lim P 0 k 1 n X t k X t k 1 Y t k Y t k 1 displaystyle X Y t lim P to 0 sum k 1 n X t k X t k 1 Y t k Y t k 1 nbsp 用极化恒等式可以把协变差用二次变差表示出来 X Y t 1 2 X Y t X t Y t displaystyle X Y t frac 1 2 X Y t X t Y t nbsp 有限变差过程 编辑随机过程X如果在任意有限区间上都是有界变差的 以概率1成立 则称X是有限变差的 这样的过程非常常见 尤其是包括所有的连续可微函数 对所有的连续有限变差过程 二次变差都存在且等于0 这个结论可以推广到不连续的情况 对右连左极的有限变差过程 其二次变差等于间断点处跳跃值的平方和 具体来说 记X在t处的左极限为X t displaystyle X t nbsp X在t处的跳跃记为D X t X t X t displaystyle Delta X t X t X t nbsp 则二次变差为 X t 0 lt s t D X s 2 displaystyle X t sum 0 lt s leq t Delta X s 2 nbsp 要证明连续的有限变差过程的二次变差为0 需使用以下不等式 其中P是区间 0 t 的划分 V t X displaystyle V t X nbsp 是X在 0 t 上的变差 k 1 n X t k X t k 1 2 max k n X t k X t k 1 k 1 n X t k X t k 1 max u v P X u X v V t X displaystyle begin aligned sum k 1 n X t k X t k 1 2 amp leq max k leq n X t k X t k 1 sum k 1 n X t k X t k 1 amp leq max u v leq P X u X v V t X end aligned nbsp 由X的连续性 这在 P displaystyle P nbsp 趋于0时的极限也趋于0 伊藤过程 编辑标准布朗运动的二次变差存在 为 B t t displaystyle B t t nbsp 这可以推广到伊藤过程 根据定义 伊藤过程可以用伊藤积分表示为X t X 0 0 t s s d B s 0 t m s d B s X 0 0 t s s d B s 0 t m s d s displaystyle begin aligned X t amp X 0 int 0 t sigma s dB s int 0 t mu s d B s amp X 0 int 0 t sigma s dB s int 0 t mu s ds end aligned nbsp 其中B是标准布朗运动 这样的过程 二次变差为 X t 0 t s s 2 d s displaystyle X t int 0 t sigma s 2 ds nbsp 半鞅 编辑可以证明所有的半鞅都有二次变差和协变差 这是随机微积分理论的重要部分 出现在伊藤引理中 二次协变差也出现在分部积分公式中X t Y t X 0 Y 0 0 t X s d Y s 0 t Y s d X s X Y t displaystyle X t Y t X 0 Y 0 int 0 t X s dY s int 0 t Y s dX s X Y t nbsp 这可用来计算 X Y 上式也可写成随机微分方程的形式 d X t Y t X t d Y t Y t d X t d X t d Y t displaystyle dX t Y t X t dY t Y t dX t dX t dY t nbsp 其中d X t d Y t d X Y t displaystyle dX t dY t d X Y t nbsp 鞅 编辑右连左极鞅和局部鞅的二次变差都有定义 因为它们都是半鞅 局部平方可积鞅M的二次变差 M 是从0开始的右连续的增过程 跳跃值D M D M 2 displaystyle Delta M Delta M 2 nbsp 使得M 2 M displaystyle M 2 M nbsp 是局部鞅 Karandikar Rao 2014 给出了 M 存在的一个证明 不使用随机微积分 平方可积鞅有一个有用的结论 可用来计算伊藤积分的变差E 0 t H d M 2 E 0 t H 2 d M displaystyle mathbb E left int 0 t HdM right 2 mathbb E int 0 t H 2 d M nbsp 只要M是右连左极平方可积鞅且H是有界可预测过程 这个结论总是成立的 常用于构造伊藤积分 还有一个重要结论是Burkholder Davis Gundy不等式 用二次变差给出了鞅的最大值的上下界 对从0开始的局部鞅 最大值记为M t sup s t M s displaystyle M t equiv sup s leq t M s nbsp 对任意实数p 1 displaystyle p geq 1 nbsp c p E M t p 2 E M t p C p E M t p 2 displaystyle c p mathbb E M t p 2 leq mathbb E M t p leq C p mathbb E M t p 2 nbsp 式中c p C p displaystyle c p leq C p nbsp 是依赖于p的常数 但不依赖于选取的鞅M和时间t 若M是连续局部鞅 则不等式对任何p gt 0都成立 另一种变差 可预测二次变差有时用于局部平方可积鞅 记做 M t displaystyle langle M rangle t nbsp 定义为从0开始的右连续且递增的可预测过程 使得M 2 M displaystyle M 2 langle M rangle nbsp 是局部鞅 其存在性可由Doob Meyer分解定理得到 对连续局部鞅 可预测二次变差就等于二次变差 另见 编辑总变差 有界变差参考资料 编辑Pr otter Philip E 2004 Stochastic Integration and Differential Equations 2nd ed Springer ISBN 978 3 540 00313 7 Karandikar Rajeeva L Rao B V 2014 On quadratic variation of martingales Proceedings Mathematical Sciences 124 3 457 469 取自 https zh wikipedia org w index php title 二次变差 amp oldid 69429980, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,