高斯-博内定理

在微分几何中，高斯-博内定理（亦称高斯-博内公式）是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述。它是以卡尔·弗里德里希·高斯和皮埃尔·奥西安·博内命名的，前者发现了定理的一个版本但从未发表，后者1848年发表了该定理的一个特例。

适用高斯-博内定理的复杂区域的一个例子。标示了测地曲率。

定理内容

设${\displaystyle M}$ 是一个紧的二维黎曼流形，${\displaystyle \partial M}$ 是其边界。令${\displaystyle K}$ 为${\displaystyle M}$ 的高斯曲率，${\displaystyle k_{g}}$ 为${\displaystyle \partial M}$ 的测地曲率。则有

${\displaystyle \int _{M}K\;dA+\int _{\partial M}k_{g}\;ds=2\pi \chi (M),\,}$ 

其中dA是该曲面的面积元，ds是M边界的线元。此处${\displaystyle \chi (M)}$ 是${\displaystyle M}$ 的欧拉示性数。

如果${\displaystyle \partial M}$ 的边界是分段光滑的，我们将${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}\;ds}$ 视作光滑部分相应的积分之和，加上光滑部分在曲线边界上的转过的角度之和。

參看

• 陳-高斯-博内定理

外部链接

• 高斯-博内定理 （页面存档备份，存于互联网档案馆）