高度 (環論)

在交換代數中，一個環 ${\displaystyle R}$ 的理想 ${\displaystyle I}$ 的高度是包含於 ${\displaystyle I}$ 的素理想鏈長度之上確界。

素理想鏈及其長度的定義如下：設交換環 ${\displaystyle R}$ 中有 ${\displaystyle n+1}$ 個素理想 ${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n}}$，使得

${\displaystyle P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq P_{n}}$

則稱之為長度為 ${\displaystyle n}$ 的素理想鏈。若 ${\displaystyle P_{n}\subset I}$，則稱此鏈包含於 ${\displaystyle I}$。一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的

在代數幾何中，這可以詮釋為閉子概形 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R/I)\subset \mathrm {Spec} (R)}$ 的餘維度。

在諾特環的情形，Krull 高度定理斷言：由 ${\displaystyle n}$ 個元素生成的理想其高度必 ${\displaystyle \leq n}$。

文獻

• H. Matsumura, Commutative algebra. ISBN 0-8053-7026-9.