隨機微分方程

隨機微分方程（英語：SDE, stochastic differential equation），是微分方程的擴展。一般微分方程的對象為可導函數，並以其建立等式。然而，隨機過程函數本身的導數不可定義，所以一般解微分方程的概念不適用於隨機微分方程。隨機微分方程多用於對一些多样化现象进行建模，比如不停变动的股票价格，部分物理现象如热扰动等。

隨機微分方程的概念最早以布朗運動的形式，由阿爾伯特·愛因斯坦在《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》論文中提出。这项研究隨後由保羅·朗之萬继续。此後伊藤清和鲁斯兰斯特拉托诺维奇（英语：Ruslan Stratonovich）完善了隨機微分方程的數學基礎，使得這門領域更加的科學嚴謹。

一般而言，隨機微分方程的解是一隨機過程函數，但解方程需要先定義隨機過程函數的微分。最常見的定義為根據伊藤清所創，假設B為布朗運動，則對於某函數H，作以下定積分之定義：

${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).}$

此稱為伊藤積分。伊藤式的隨機微分方程常用於在金融數學中。

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