多项式除法

多项式除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。

范例

计算${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}}$ 

把被除式、除式按某个字母作降幂排列，缺项补零，写成以下形式：

${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}+0x-42}{x-3}}}$ 

然后商和余数可以这样计算：

1. 将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x），得到首商，写在横线之上(${\displaystyle x^{3}\div x=x^{2}}$ ).

   ${\displaystyle {\begin{matrix}\quad x^{2}\\x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\end{matrix}}}$ 

2. 将分母乘以首商，乘积写在分子前两项之下（同类项对齐）（${\displaystyle x^{2}\cdot (x-3)=x^{3}-3x^{2}}$ ）。

   ${\displaystyle {\begin{matrix}\quad x^{2}\\x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;x^{3}-3x^{2}\end{matrix}}}$ 

3. 从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），得到第一餘式，写在下面。（${\displaystyle (x^{3}-12x^{2})-(x^{3}-3x^{2})=-12x^{2}+3x^{2}=-9x^{2}}$ ）然后，将分子的下一项“拿下来”。

   ${\displaystyle {\begin{matrix}\quad x^{2}\\x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\end{matrix}}}$ 

4. 把第一餘式当作新的被除式，重复前三步，得到次商與第二餘式（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式 ）

   ${\displaystyle {\begin{matrix}\;\quad \quad \quad x^{2}-9x\\x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\end{matrix}}}$ 

5. 重复第四步，得到三商與第三餘式。餘式小於除式次數，運算結束。

   ${\displaystyle {\begin{matrix}\quad \quad \quad \quad \quad \quad x^{2}-9x-27\\x-3{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27x+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}}$ 

横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。

${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=\underbrace {x^{2}-9x-27} _{q(x)}\underbrace {-{\frac {123}{x-3}}} _{r(x)/g(x)}}$ 

算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有${\displaystyle x}$ 被替换为10的情形。

除法变换

使用多项式长除法可以将一个多项式写成 除数-商 的形式（经常很有用）。 考虑多项式${\displaystyle P(x)}$ , ${\displaystyle D(x)}$  （(D)的次数 < (P)的次数）。 然后，对某个商多项式${\displaystyle Q(x)}$ 和余数多项式 ${\displaystyle R(x)}$ （(R)的系数 < (D)的系数），

${\displaystyle {\frac {P(x)}{D(x)}}=Q(x)+{\frac {R(x)}{D(x)}}\implies P(x)=D(x)Q(x)+R(x)}$ 

这种变换叫做除法变换，是从算数等式 ${\displaystyle {\mathrm {dividend} =\mathrm {divisor} \times \mathrm {quotient} +\mathrm {remainder} }}$ ^[1] 得到的。

应用

多项式的因式分解

有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用有理数根定理得到的。如果一个${\displaystyle n}$ 次多项式 ${\displaystyle P(x)}$ 的一个根${\displaystyle r}$ 已知，那么${\displaystyle P(x)}$  可以使用多项式长除法因式分解为${\displaystyle (x-r)Q(x)}$ 的形式，其中${\displaystyle Q(x)}$ 是一个${\displaystyle n-1}$ 次的多项式。简单来说，${\displaystyle Q(x)}$ 就是长除法的商，而又知${\displaystyle r}$ 是${\displaystyle P(x)}$ 的一个根、余式必定为零。

相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知${\displaystyle r}$ 和${\displaystyle s}$ 这两个，那么可以先从${\displaystyle P(x)}$ 中除掉线性因子${\displaystyle x-r}$ 得到${\displaystyle Q(x)}$ ，再从${\displaystyle Q(x)}$ 中除掉 ${\displaystyle x-s}$ ，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子${\displaystyle x^{2}-(r+s)x+rs}$ 。

使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果有理数根定理可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。

寻找多项式的切线

多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。^[2] 如果${\displaystyle R(x)}$ 是${\displaystyle {\frac {P(x)}{(x-r)^{2}}}}$ 的余式——也即，除以${\displaystyle x^{2}-2rx+r^{2}}$ ——那么在 ${\displaystyle x=r}$ 处${\displaystyle P(x)}$ 的切线方程是${\displaystyle y=R(x)}$ ，不论${\displaystyle r}$ 是否是${\displaystyle P(x)}$ 的根。

参见

• 多项式余数定理
• 综合除法
• 欧几里得整环
• Gröbner basis（英语：Gröbner basis）
• 多项式最大公因子（英语：Greatest common divisor of two polynomials）

引用

1. S. Barnard. Higher Algebra. READ BOOKS. 2008: 24. ISBN 1443730866. 
2. Strickland-Constable, Charles, "A simple method for finding tangents to polynomial graphs", Mathematical Gazette 89, November 2005: 466-467.