迹不等式

在数学中，有很多关于希尔伯特空间上的矩阵和线性算子的不等式。而迹不等式就是与矩阵的迹有关的算子不等式。^[1][2][3][4]

基本定义

令H_n表示n×n埃尔米特矩阵空间， H_n⁺表示全体n×n半正定埃尔米特矩阵，H_n⁺⁺表示全体n×n正定埃尔米特矩阵。对于无限维希尔伯特空间上的算子，则需要迹类算子或埃尔米特算子，简单起见，此处我们只讨论矩阵。

对于任意实值函数 f 上的一个区间 I ⊂ℝ，通过在特征值上定义函数和相应投影P乘积，可以在任意特征值 λ 在I的算子A ∈ H_n上定义 矩阵函数 f(A) 如下：

${\displaystyle f(A)\equiv \sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,}$  假设有谱分解 ${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}.}$ 

算子的单调性

定义在区间 I ⊂ℝ上的函数 f: I → ℝ 是算子单调的 ，如果对于∀n，∀ A,B ∈ H_n 且特征值在 I中，有，

${\displaystyle A\geq B\Rightarrow f(A)\geq f(B),}$ 

这里 A ≥ B 表示 A − B ≥ 0 ，即A − B是半正定的。 注意， f(A)=A² 不是 算子单调的!

算子的凹凸性

函数 ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$  是 算子凸的 如果对任意 ${\displaystyle n}$  和任意 A,B ∈ H_n 与特征值在 I的一对矩阵，在 ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ 时有

${\displaystyle f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B).}$ 

由于 ${\displaystyle A}$  和 ${\displaystyle B}$  有的特征值在 I中，注意矩阵 ${\displaystyle \lambda A+(1-\lambda )B}$  特征值也在 ${\displaystyle I}$ 中。

函数 ${\displaystyle f}$  是 算子凹的 如果 ${\displaystyle -f}$  是算子凸的，即上面关于 ${\displaystyle f}$  不等式的符号反过来也成立。

联合凸性

定义在区间 ${\displaystyle I,J\subset \mathbb {R} }$  上的函数${\displaystyle g:I\times J\rightarrow \mathbb {R} }$ 是 联合凸的 ，如果对任意 ${\displaystyle n}$  和任意${\displaystyle A_{1},A_{2}\in \mathbf {H} _{n}}$  且特征值在 ${\displaystyle I}$  中，和任意 ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in \mathbf {H} _{n}}$  且特征值在 ${\displaystyle J}$ 中，在 ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$  时有

${\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})\leq \lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}$ 

一个功能 是 如果 是联合凸，即不平等以上为 g 是相反的。

函数 g 是 算子联合凹的 如果 −g 是联合凸的，即上面关于 g 不等式符号反过来成立。

迹函数

给定函数 f:ℝ→ℝ，相应地可在 H_n 上定义 迹函数

${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j}),}$ 

其中 A 有特征值 λ ，Tr表示算子的 迹 。

迹函数的凸性和单调性

设 f:ℝ→ℝ连续， n 是任意整数。 若 ${\displaystyle t\mapsto f(t)}$  是单调递增的，则迹函数 ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}$  在 H_n上也是单调递增的。

类似，如果 ${\displaystyle t\mapsto f(t)}$  是 凸的，则迹函数${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}$  在 H_n上也是凸的，它是严格凸的如果 f 严格凸。

证明和讨论可参考^[1] 中。

參考文獻

1. E. Carlen, Trace Inequalities and Quantum Entropy: An Introductory Course, Contemp. Math. 529 (2010) 73–140 doi:10.1090/conm/529/10428
2. R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, (1997).
3. B. Simon, Trace Ideals and their Applications, Cambridge Univ. Press, (1979); Second edition. Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2005).
4. M. Ohya, D. Petz, Quantum Entropy and Its Use, Springer, (1993).