辛標記

在哈密頓力學裏，因為哈密頓方程式對於廣義坐標 ${\displaystyle \mathbf {q} \,\!}$ 與廣義動量 ${\displaystyle \mathbf {p} \,\!}$ 的運算在正負號上並不對稱，必須用兩個方程式來表示：

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}\,\!}$ ，

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\,\!}$ ；

這裏， ${\displaystyle {\mathcal {H}}\,\!}$ 是哈密頓量。

辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。辛標記的英文名 「Symplectic notation」 最先是德國著名數學家赫尔曼·外尔提出的^[1]。 Symplectic 這字原來在希臘文是糾纏或編結的意思；用在這裏主要是形容廣義坐標和廣義動量互相編結在一起的情況。

設定一個 ${\displaystyle 2N\times 1\,\!}$ 的豎矩陣 ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\,\!}$ :

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}^{T}=[q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N}]\,\!}$ ；

此矩陣上半段是廣義坐標、下半段是廣義動量、${\displaystyle T\,\!}$ 代表轉置運算。我們也可以將 ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\,\!}$ 視為一個向量。

定義辛矩陣 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\,\!}$ 為一個斜對稱的 ${\displaystyle 2N\times 2N\,\!}$ 方塊矩陣：

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &\mathbf {1} \\-\mathbf {1} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}\,\!}$ ；

這裏，${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\,\!}$ 是由 4 個 ${\displaystyle N\times N\,\!}$ 零矩陣${\displaystyle \mathbf {0} }$與單位矩陣${\displaystyle \mathbf {1} }$組成。

這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\,\!}$ 。

正則變換

正則變換是一種正則坐標的改變，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。所以，使用正則變換，正則坐標會從舊正則坐標 ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\,\!}$  改變成新正則坐標 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Xi }}\,\!}$  ， ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}\,\!}$  ；哈密頓量也從舊的哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}\,\!}$  改變成新的哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}\,\!}$  ，${\displaystyle {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}\,\!}$  ；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\Xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\,\!}$  。

帕松括號

在相空间中，用正則座標 ${\displaystyle \mathbf {q} ,\ \mathbf {p} \,\!}$  ，两个函数${\displaystyle f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\,\!}$  的泊松括號記作:

${\displaystyle {\big [}f,g{\big ]}_{\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} }=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)\,\!}$  。

用辛標記，

${\displaystyle {\big [}f,g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\,\!}$  。

參閱

• 辛拓撲
• 辛群
• 辛矩陣

參考文獻

1. Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 343. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)