角平分線定理

角平分線定理（英語：Angle bisector theorem），或稱內分比，斯霍騰定理，是一個幾何學的定理，在三角形ABC中，由A點作一角平分線與BC交於D，那

图中：BD:DC = AB:AC

${\displaystyle {\overline {AB}}:{\overline {AC}}={\overline {BD}}:{\overline {DC}}}$

角平分線定理是分角定理中${\displaystyle \angle BAD=\angle DAC}$的情況，${\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {CD}}}={\frac {{\overline {AB}}\sin \angle BAD}{{\overline {AC}}\sin \angle CAD}}={\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}}$

證明

已知${\displaystyle {\overline {AD}}}$ 為${\displaystyle \triangle ABC}$ 的角平分線，且${\displaystyle {\overline {AD}}}$ 交線段${\displaystyle {\overline {BC}}}$ 於${\displaystyle D}$ 點，試證：${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}}$ 

面積法

一條經過頂點，並與頂點的兩條鄰邊的夾角相等的一條线段，是三角形的角平分線。

根據角平分線定義，知${\displaystyle \angle BAD=\angle CAD}$ ；過頂點${\displaystyle A}$ 作${\displaystyle {\overline {BC}}}$ 上的高${\displaystyle {\overline {AH}}}$ 

因${\displaystyle D}$ 至${\displaystyle {\overline {AB}}}$ 與${\displaystyle {\overline {AC}}}$ 的距離相等，故${\displaystyle \triangle ABD}$ 之面積:${\displaystyle \triangle ADC}$ 之面積=${\displaystyle {\overline {AB}}:{\overline {AC}}}$ (等高)

又${\displaystyle \triangle ABD}$ 之面積:${\displaystyle \triangle ADC}$ 之面積=${\displaystyle {\overline {BD}}:{\overline {DC}}}$ (同高${\displaystyle {\overline {AH}}}$ )

故${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}}$ ，得證。

參見

• 角平分線長公式
• 外角平分線定理