艾佛森括号

在数学中，以Kenneth E. Iverson命名的“艾佛森括号”（Iverson bracket），是一种用方括号记号，如果方括号内的条件满足则为1，不满足则为0. 更确切地讲，

${\displaystyle [P]={\begin{cases}1&{\text{If }}P{\text{ is true;}}\\0&{\text{Otherwise.}}\end{cases}}}$

此处 P 是一个可真可假的命题。该记号由Kenneth E. Iverson在他的编程语言APL中引进^[1]，而特别使用方括号则是由高德纳倡导的，目的是避免含括号的表达式中的歧义。^[2]

用途

艾弗森括号通过自然的映射${\displaystyle {\textbf {false}}\mapsto 0;{\textbf {true}}\mapsto 1}$ 将布尔值转化为整数值，这就允许计数被表示为和式。例如，计数与小于n且正整数n互质的正整数的个数的欧拉函数可以表示为

${\displaystyle \phi (n)=\sum _{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1],\qquad {\text{for }}n\in \mathbb {N} ^{+}.}$ 

更一般地，此记号使得将和式和积分式中繁多的条件移入并成为被加（积）项的一个因子成为可能。这将减少累加记号周围的空间，更重要的是这允许运算更加代数化。例如，

${\displaystyle \sum _{1\leq i\leq 10}i^{2}=\sum _{i}i^{2}[1\leq i\leq 10].}$ 

另一个例子是化简带特例的方程，例如公式

${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n)}$ 

对一切n > 1有效，但是右边有 1/2 对于 n = 1。为了得到一个一切正整数n都成立的恒等式，可以利用艾弗森括号补充等式：

${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n(\varphi (n)+[n=1])}$ 

样例

克罗内克函数 : ${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].}$ 

符号函数和单位阶跃函数：

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=[x>0]-[x<0]}$ 

${\displaystyle H(x)=[x>0].}$ 

最值与绝对值：

${\displaystyle \max(x,y)=x[x>y]+y[x\leq y],}$ 

${\displaystyle \min(x,y)=x[x\leq y]+y[x>y],}$ 

${\displaystyle |x|=x[x\geq 0]-x[x<0].}$ 

上下取整函数：

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\sum _{n=-\infty }^{\infty }n[n\leq x<n+1]}$ 

${\displaystyle \lceil x\rceil =\sum _{n=-\infty }^{\infty }n[n-1<x\leq n].}$ 

麦考利括号（英语：Macaulay brackets）可被表示为

${\displaystyle \{x\}=x\cdot [x\geq 0].}$ 

实数的三分律等价于下面的恒等式：

${\displaystyle [a<b]+[a=b]+[a>b]=1.}$ 

另见

• 麦考利括号（英语：Macaulay brackets）

注释

1. Ronald Graham, Donald Knuth, and Oren Patashnik. Concrete Mathematics, Section 2.2: Sums and Recurrences.
2. Knuth 1992.

参考来源

• Donald Knuth, "Two Notes on Notation", American Mathematical Monthly, Volume 99, Number 5, May 1992, pp. 403–422. (http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/tnn.tex.gz （页面存档备份，存于互联网档案馆）, arXiv:math/9205211)
• Kenneth E. Iverson, A Programming Language, New York: Wiley, p. 11, 1962.