自由度 (统计学)

在統計學中，自由度（英語：degree of freedom, df）是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数，称为该统计量的自由度^[1]。一般來說，自由度等於獨立变量数減掉其衍生量數^[2]；舉例來說，方差的定義是樣本減平均值（一個由樣本決定的衍生量）的平方之和，因此對N個隨機樣本而言，其自由度為N-1。^[3]

數學上，自由度是一個隨機向量的維度數，也就是一個向量能被完整描述所需的最少單位向量數。舉例來說，從電腦螢幕到廚房的位移能夠用三維向量${\displaystyle a{\widehat {i}}+b{\widehat {j}}+c{\widehat {k}}}$來描述，因此這個位移向量的自由度是3。自由度也通常與這些向量的座標平方和，以及卡方分布中的參數有所關聯。

範例

• 若存在兩個變數${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ ，而 ${\displaystyle a+b=6}$ 那麼他的自由度為1。因為其實只有${\displaystyle a}$ 才能真正的自由變化，${\displaystyle b}$ 會被${\displaystyle a}$ 選值的不同所限制。
• 估计总体的平均数（${\displaystyle \mu \,}$ ）时，由于样本中的${\displaystyle n}$ 个数都是相互独立的，任一個尚未抽出的數都不受已抽出任何数值的影響，所以自由度为${\displaystyle n}$ 。
• 估计总体的方差（${\displaystyle \sigma ^{2}\,}$ ）时所使用的統計量是樣本的方差${\displaystyle s^{2}}$ ，而${\displaystyle s^{2}}$ 必須用到樣本平均數${\displaystyle {\overline {x}}}$ 來計算。${\displaystyle {\overline {x}}}$ 在抽樣完成後已確定，所以大小為${\displaystyle n}$ 的樣本中只要${\displaystyle n-1}$ 个数确定了，第${\displaystyle n}$ 個數就只有一個能使樣本符合${\displaystyle {\overline {x}}}$ 的數值。也就是說，樣本中只有${\displaystyle n-1}$ 個數可以自由變化，只要確定了這${\displaystyle n-1}$ 個數，方差也就确定了。这裡，平均數${\displaystyle {\overline {x}}}$ 就相当于一个限制条件，由于加了这个限制条件，樣本方差${\displaystyle s^{2}}$ 的自由度为${\displaystyle n-1}$ 。
• 统计模型的自由度等于可自由取值的自变量的个数。如在回归方程中，如果共有${\displaystyle p}$ 个参数需要估计，则其中包括了${\displaystyle p-1}$ 个自变量（与截距对应的自变量是常量）。因此该回归方程的自由度为${\displaystyle p-1}$ 。
• 如果用刀剖柚子，在北极点沿经线方向割3刀，得6个角。这6个角可视为3对。6个角的平均角度一定是60度。其中半边3个角中，只会有2个可以自由选择，一旦2个数值确定第3个角也会唯一地确定。在总和已知的情况下，切分角的个数比能够自由切分的个数大1。

參考文獻

1. . "Glossary of Statistical Terms". Animated Software. [2008-08-21]. （原始内容存档于2018-09-17）. 
2. Walker, H. M. Degrees of Freedom. Journal of Educational Psychology. April 1940, 31 (4): 253–269. doi:10.1037/h0054588. 
3. Lane, David M. . HyperStat Online. Statistics Solutions. [2008-08-21]. （原始内容存档于2018-06-28）.