能量串级

在连续介质力学中，能量串级包括能量从大尺度运动到小尺度运动的传输（称为正向能量串级）或能量从小尺度到大尺度的传输（称为逆向能量串级）。这种不同尺度之间的能量转移只能发生在非線性系統中。严格来说，串级的能量传输发生在局部（仅在非常接近的尺度之间），类似于水从一个水池流动到下一个临近水池产生的层叠瀑布，而不会出现跨越整个尺度范围的远程传输。

可视化的湍流射流，使用激光诱导荧光（英语：Planar laser-induced fluorescence）技术制成。射流涉及多个长度尺度，这是在湍流模型中出现能量串级的先决条件。

在对完全成形的湍流的研究中，能量串级是一个重要概念。路易斯·弗莱·理查德森作于1920年代的这首诗描写了这种现象，令人记忆深刻。能量串级对于理解波湍流（英语：wave turbulence）理论中的波涛现象也很重要。

Big whirls have little whirls
that feed on their velocity,
And little whirls have lesser whirls
and so on to viscosity

—路易斯·弗莱·理查德森, 1922^[1]

以气流在高层建筑周围形成的湍流为例。边界层分离所产生的涡流（英语：Eddy）蕴含能量，其大小在数十米左右。这一尺度范围称为含能区。在气流下游的某处，空气的黏度导致的耗散主要发生在柯尔莫哥洛夫微尺度上，在这个例子中也就是毫米大小。这一尺度范围称为耗散区。而在这两个等级的尺度之间，没有外力作用，黏度也不会导致明显的耗散，却存在非线性的，从大尺度到小尺度的净能量传输。

如果含能区和耗散区之间存在很大距离，则它们之间的尺度范围称为惯性子区（英文：inertial subrange）。这些尺度上的运动可以通过自相似性来描述，或者通过对其统计学特征做出假设（从而满足湍封闭）来分析。安德雷·柯尔莫哥洛夫在1940年代开创性地推导出了对湍流惯性子区中波数谱的预测。

湍流惯性子区中的谱

 

在湍流能量谱中能量产生、串级、耗散的图示。

在湍流中，最大尺度的涡流蕴含最多的动能。而黏度导致的能量的耗散主要发生在最小的涡流中。柯尔莫哥洛夫假设，当这两种尺度之间距离很大时， 两者之间的尺度范围在统计学上具有各向同性，而它在达到平衡时的特征只取决于能量在小尺度上耗散的速率。(耗散是机械能通过摩擦转化为热能的过程。）耗散速率 ${\displaystyle \varepsilon }$  可以表示用湍流中波动的应变速率（英语：strain rate）和流体的运动粘度 ${\displaystyle \nu }$  表示。它的量纲是能量/(单位质量·单位时间)。达到平衡状态时，在大尺度运动中产生湍动能（英语：turbulence kinetic energy）的速率等于小尺度运动中耗散能量的速率。

湍流的能量谱

湍流的能量谱 ${\displaystyle E(k)}$  取决于单位质量流体的湍动能（英语：turbulence kinetic energy）^[2]：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\overline {u_{i}u_{i}}}\right)=\int _{0}^{\infty }E(k)\;dk.}$ 

其中 ${\displaystyle u_{i}}$  是波动的速度的分量，上划线表示系综平均值，表达式在 ${\displaystyle i}$  上求和， ${\displaystyle k}$  是波数。所以能量谱 ${\displaystyle E(k)}$  表示的是位于波数 ${\displaystyle k}$  与 ${\displaystyle k+dk}$  之间的湍动能。较大的涡流具有较低的波数，较小的涡流具有较高的波数。

因为扩散是速度的拉普拉斯，耗散速率可以用能量谱表示：

${\displaystyle \varepsilon =2\nu \int _{0}^{\infty }k^{2}E(k)\;dk.}$ 

其中 ${\displaystyle \nu }$  是流体的运动粘度。在这条等式中可以观察到，即使动能主要存在于低波数的运动（大涡流）中，耗散主要发生在高波数的运动（小涡流）中。

惯性子区中的能量谱

从低波数到高波数的能量传输称为能量串级。它把湍能量从大尺度运动传输到小尺度运动，并最终被黏度耗散掉。这之间的尺度区间，即惯性子区中，由柯尔莫哥洛夫的假设可以推导出能量谱的普遍形式：

${\displaystyle E(k)=C\varepsilon ^{2/3}k^{-5/3}.}$ 

各类条件下的大量实验证据都支持这一结论。在实验中测得的数值为 ${\displaystyle C=1.5}$ 。^[2]

压强波动的谱

湍流中的压强波动也可以以类似的方式描述。湍流中压强平方的平均值可以用压强谱 ${\displaystyle \pi (k)}$  来表示：

${\displaystyle {\overline {p^{2}}}=\int _{0}^{\infty }\pi (k)\;dk.}$ 

对于没有平均速度梯度的湍流（各向同性湍流），惯性子区中的谱是

${\displaystyle \pi (k)=\alpha \rho ^{2}\varepsilon ^{4/3}k^{-7/3}.}$ 

其中 ${\displaystyle \rho }$  是流体的密度，${\displaystyle \alpha =1.32C^{2}=2.97}$ 。^[3]如果有平均速度梯度（剪切流（英语：shear flow）)，则会在惯性子区中的谱中额外附加形如 ${\displaystyle k^{-11/3}}$  的变化趋势；但在较高波数的位置，形如 ${\displaystyle k^{-7/3}}$  的变化趋势占据主导地位。

自由流体界面微小扰动的谱

自由流体界面下方的压强波动可以驱动液面位移。这种自由界面-湍流相互作用也可以用波数谱来描述。如果 ${\displaystyle \delta }$  是界面距离平均位置的瞬时位移，位移平方的平均值可以用位移谱 ${\displaystyle G(k)}$  来表示：

${\displaystyle {\overline {\delta ^{2}}}=\int _{0}^{\infty }G(k)\;dk.}$ 

三维形式的压强谱可以与杨-拉普拉斯公式相结合并得出^[4]：

${\displaystyle G(k)\propto k^{-19/3}.}$ 

在实验中，这一 ${\displaystyle k^{-19/3}}$  定律是在对无湍流射流表面的光学观测中得出的。^[4]

注释

1. Richardson, Lewis Fry. Weather Prediction by Numerical Processes. Boston: Cambridge University Press. 1922: 66 [2019-02-23]. ISBN 9780511618291. 
2. Pope, S.B. Turbulent Flows. Cambridge University Press. 2000. 
3. George, W.K.; Beuther, P.D. & Arndt, R.E.A. Pressure spectra in turbulent free shear flows. Journal of Fluid Mechanics. November 1984, 148: 155–191. Bibcode:1984JFM...148..155G. S2CID 119938972. doi:10.1017/S0022112084002299. 
4. Bhunia, S.K.; Lienhard V, J.H. Surface Disturbance Evolution and the Splattering of Turbulent Liquid Jets. Journal of Fluids Engineering. December 1994, 116 (4): 721–727. doi:10.1115/1.2911841. 

参考文献

• Chorin, A.J., Vorticity and turbulence, Applied Mathematical Sciences 103, Springer, 1994, ISBN 978-0-387-94197-4 
• Falkovich, G.; Sreenivasan, K.R., Lessons from hydrodynamic turbulence, Physics Today, 2006, 59 (4): 43–49, Bibcode:2006PhT....59d..43F, doi:10.1063/1.2207037 
• Frisch, U., Turbulence: The Legacy of A.N. Kolmogorov, Cambridge University Press, 1995, ISBN 978-0-521-45713-2 
• Newell, A.C.; Rumpf, B., Wave turbulence, Annual Review of Fluid Mechanics, 2011, 43 (1): 59–78, Bibcode:2011AnRFM..43...59N, doi:10.1146/annurev-fluid-122109-160807 
• Richardson, L.F., Weather prediction by numerical process, Cambridge University Press, 1922, OCLC 3494280