羅季翁·庫兹明

羅季翁·奧西耶維奇·庫兹明 (俄語：Родион Осиевич Кузьмин ,1891年11月9日—1949年3月24日）是一位俄罗斯数学家，其以在数论和数学分析方面的成就而闻名。 ^[1]他於1928年在博洛尼亚成為国际数学家大会的特邀演讲者。 ^[2]

成果

• 1928 年，庫茲明解决了^[3]由高斯（见高斯-库兹明分布）提出的以下问题：如果x是在 (0, 1) 均勻選取的隨機數，而

${\displaystyle x={\frac {1}{k_{1}+{\frac {1}{k_{2}+\cdots }}}}}$ 

是它的连分数展开式，找到一个界限

${\displaystyle \Delta _{n}(s)=\mathbb {P} \left\{x_{n}\leq s\right\}-\log _{2}(1+s),}$ 

使得

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{k_{n+1}+{\frac {1}{k_{n+2}+\cdots }}}}.}$ 

高斯認為 n 趋向到无穷則 Δ_n 趋于零，但他无法给出一个明确的绑定。庫茲明則證明了

${\displaystyle |\Delta _{n}(s)|\leq Ce^{-\alpha {\sqrt {n}}}~,}$ 

其中 C, α > 0 是数值常数。 1929 年，保羅·皮埃爾·萊維將其边界改进为C 0.7ⁿ。

• 1930 年，庫茲明证明^[4]了形式 a^b 的数是超越数，其中a是代数， b 是實二次无理数。特别是，这个结果也意味着格爾豐德-施奈德常數

${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}=2.6651441426902251886502972498731\ldots }$ 

是超越的。请参阅格尔丰德-施奈德定理以了解後續的发展。

• 他还因 庫茲明-Landau 不等式而闻名：如果${\displaystyle f}$ 是連線可微，導數 ${\displaystyle f'}$ 是單高的， 且满足 ${\displaystyle \Vert f'(x)\Vert \geq \lambda >0}$  （這裡的 ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$  表示有限区间上的最近整数函数 ) ${\displaystyle I}$  ， 則

${\displaystyle \sum _{n\in I}e^{2\pi if(n)}\ll \lambda ^{-1}.}$ 

参考文献

1. Venkov, B. A.; Natanson, I. P. R. O. Kuz'min (1891–1949) (obituary). Uspekhi Matematicheskikh Nauk: 148–155. 
2. Kuzmin, R. "Sur un problème de Gauss." In Atti del Congresso Internazionale dei Matematici: Bologna del 3 al 10 de settembre di 1928, vol. 6, pp. 83–90. 1929.
3. Kuzmin, R.O. On a problem of Gauss. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1928: 375–380. 
4. Kuzmin, R. O. On a new class of transcendental numbers. Izvestiya Akademii Nauk SSSR (Math.). 1930, 7: 585–597. 

外部链接

• 數學譜系計畫中的羅季翁·庫兹明 （页面存档备份，存于互联网档案馆）的資訊。（其中的年代明顯錯誤，J. V. Uspensky 從 1929 年住在美國）。