維塔利覆蓋引理

數學上，維塔利(Vitali)覆蓋引理是一個組合幾何的結果，用於實分析中。這引理說給出一族球，可以從中找到一族互不相交的球，將這些球半徑增加一定倍後，就能把其他的球都覆蓋住。

引理敘述

有限多球

在一個度量空間中有一族閉球${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ ，則這一族球中存在互不相交的球${\displaystyle B_{i_{1}},\ldots ,B_{i_{m}}}$ ，適合條件

${\displaystyle B_{1}\cup \ldots \cup B_{n}\subset 3B_{i_{1}}\cup \ldots \cup 3B_{i_{m}}}$ 

${\displaystyle 3B_{i_{k}}}$ 表示和${\displaystyle B_{i_{k}}}$ 有相同中心，而半徑是${\displaystyle B_{i_{k}}}$ 的三倍的球。

無限多球

在一個度量空間中有一族半徑為正數的閉球${\displaystyle \{B_{i}:i\in I\}}$ ，這族球的半徑有有限的上界，即

${\displaystyle \sup _{I}\mathrm {rad} (B_{i})<\infty }$ 

則這一族球中存在互不相交的球${\displaystyle \{B_{i}:i\in I'\}}$ ，${\displaystyle I'\subset I}$ ，適合條件

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}B_{i}\subset \bigcup _{i\in I'}5B_{i}}$ 

${\displaystyle 5B_{i}}$ 表示和${\displaystyle B_{i}}$ 有相同中心，而半徑是${\displaystyle B_{i}}$ 的五倍的球。

證明

有限情形

取這一族球中半徑最大的一個球${\displaystyle B_{i_{1}}}$ ，然後除去所有與${\displaystyle B_{i_{1}}}$ 相交的球。再從剩下的球中取半徑最大的為${\displaystyle B_{i_{2}}}$ ，如此類推。那麼任何其他的球必定因為和某個${\displaystyle B_{i_{k}}}$ 相交而被除去，這個球的半徑不大於${\displaystyle B_{i_{k}}}$ ，因此包含在${\displaystyle 3B_{i_{k}}}$ 之內。

無限情形

設這一族球的半徑的上確界為R。將這一族按半徑分成子集${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$ ，j為正整數；${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$ 包含半徑在區間${\displaystyle (R/2^{j},R/2^{j-1}]}$ 的球。依次取${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2},\cdots }$ 如下：

1. 設${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{1}={\mathcal {F}}_{1}}$ 。取${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ 為${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{1}}$ 內互不相交球的子集之中的極大者，即其他在${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{1}}$ 中的球都與這一子集中某個球相交。從佐恩引理知這樣的${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ 存在，以下同。
2. 設已取${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},\cdots ,{\mathcal {G}}_{k-1}}$ ，k為某大於1的整數。設${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{k}}$ 是${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}}$ 中不與${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\cup \cdots \cup {\mathcal {G}}_{k-1}}$ 中任何球相交的全部球的子集。取${\displaystyle {\mathcal {G}}_{k}}$ 為${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{k}}$ 內互不相交球的子集之中的極大者。

設${\displaystyle {\mathcal {G}}=\bigcup _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{k}}$ 。任何其他的球B必在某一個${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{k}}$ 中，因此這個球與${\displaystyle {\mathcal {G}}_{k}}$ 中一個球${\displaystyle B'}$ 相交，而${\displaystyle B'}$ 的半徑大於B的半徑的二分之一，故此B包含在${\displaystyle 5B'}$ 之內。

討論

因為有無限多球時，可能不存在半徑最大的球，所以在構造中，每一步選擇的球的半徑，只要求接近餘下的球的半徑的上確界。而結果中的5並非最佳常數。將${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$ 的定義中的${\displaystyle 2^{j},2^{j+1}}$ 的2換成任何大於1的數c，那麼就可把結果中的5換成1+2c，即可以用任何大於3的數取代。不過由於未必有半徑最大的球，以致不能像有限多球時用3取代，以下是一個簡單例子。

例子

在平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 中，給出如下的一族球：對每個正整數n，${\displaystyle B_{n}}$ 是半徑為${\displaystyle 2-1/n}$ 的閉球，若n為奇數，${\displaystyle B_{n}}$ 的圓心在${\displaystyle (2-1/n,0)}$ ；若n為偶數，則圓心在${\displaystyle (-2+1/n,0)}$ 。所有球都包含原點(0,0)，故任意兩個球都相交，因此包含互不相交的球的子集只能有一個球。這一族球的半徑上確界是2，然而全部球的半徑都小於2。若選任何一個${\displaystyle B_{n}}$ 為這個子集，因有半徑更大的球${\displaystyle B_{n+1}}$ 在原點的另一側，故此${\displaystyle 3B_{n}}$ 不覆蓋${\displaystyle B_{n+1}}$ 。

應用

這條引理用於證明哈代－李特爾伍德極大不等式。

參見

• 貝西科維奇覆蓋定理

參考

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.