Tautochrone Problem -- From Wolfram MathWorld. [2014-08-07]. (原始内容于2021-02-11) (英语).
四月 10, 2024
等時降線, 英語, tautochrone, curve, 或isochrone, curve, 是一種曲線, 將一質點放置在此曲線上任一點使其自由下滑, 不計阻力, 至最低點所需的時間皆相等, 此曲線的解是擺線, 而下滑所需的時間與擺線繞轉圓的半徑平方根成正比, 與重力場強度的平方根成反比, 上的四個質點釋放位置不同, 但到達最低點的時間相等, 目录, 等時降落問題, 解析, 阿貝爾力學問題, 參見, 參考等時降落問題, 编辑等時降落問題, 英語, tautochrone, problem, 即為尋找的問題, 等. 等時降線 英語 tautochrone curve 或isochrone curve 是一種曲線 將一質點放置在此曲線上任一點使其自由下滑 不計阻力 至最低點所需的時間皆相等 此曲線的解是擺線 而下滑所需的時間與擺線繞轉圓的半徑平方根成正比 與重力場強度的平方根成反比 等時降線上的四個質點釋放位置不同 但到達最低點的時間相等 目录 1 等時降落問題 2 解析 3 阿貝爾力學問題 4 參見 5 參考等時降落問題 编辑等時降落問題 英語 The tautochrone problem 即為尋找等時降線的問題 等時降落問題最早由惠更斯解出 在他1673年出版的著作裡 利用了幾何的方法證明了此線的解為一擺線 而此問題後來也被利用來解決最速降線問題 在1690年 伯努利用微積分推導出了最速降線問題的解亦為擺線 不久以後 拉格朗日與歐拉也運用了解析法解出了等時降落問題 解析 编辑將質點放在一曲線上 則質點下滑的時間與最低點和釋放點之間的長度無關 簡諧運動也具有類似的性質 如果一個質點只受到一個定點方向 與兩點間距離成正比的力作用 則此物體自由釋放後將會做簡諧運動 且無論釋放點的位置 此質點作簡諧運動的週期皆相同 故我們可以假設在等時降線上運動的物體與作簡諧運動的物體有相似的行為 即d2sdt2 k2s displaystyle frac mathrm d 2 s mathrm d t 2 k 2 s nbsp 其中s displaystyle s nbsp 為最低點與質點之間的弧長 假定釋放時t 0 displaystyle t 0 nbsp 我們可解得s s0cos kt displaystyle s s 0 cos kt nbsp s0 displaystyle s 0 nbsp 為最低點與釋放點間的弧長 而在最低點時s 0 displaystyle s 0 nbsp 故下滑所需的時間有kT0 p2 T0 p2k displaystyle kT 0 frac pi 2 T 0 frac pi 2k nbsp 又一沿斜面自由下滑的物體 其加速度為d2sdt2 gsin 8 displaystyle frac mathrm d 2 s mathrm d t 2 g sin theta nbsp 其中8 displaystyle theta nbsp 為曲線上的切線與水平面之間的夾角 綜合上述得k2s gsin 8 displaystyle k 2 s g sin theta nbsp 所以s displaystyle s nbsp 對8 displaystyle theta nbsp 的變化率有k2dsd8 gcos 8 displaystyle k 2 frac mathrm d s mathrm d theta g cos theta nbsp ds gk2cos 8d8 displaystyle mathrm d s frac g k 2 cos theta mathrm d theta nbsp 所以 dx cos 8ds gk2cos2 8d8 g2k2 1 cos 28 d8 displaystyle mathrm d x cos theta mathrm d s frac g k 2 cos 2 theta mathrm d theta frac g 2k 2 left 1 cos 2 theta right mathrm d theta nbsp x g2k2 1 cos 28 d8 g4k2 28 sin 28 x0 displaystyle x int frac g 2k 2 left 1 cos 2 theta right mathrm d theta frac g 4k 2 left 2 theta sin 2 theta right x 0 nbsp 以及 dy sin 8ds gk2sin 8cos 8d8 g2k2sin 28d8 displaystyle mathrm d y sin theta mathrm d s frac g k 2 sin theta cos theta mathrm d theta frac g 2k 2 sin 2 theta mathrm d theta nbsp y g2k2sin 28d8 g4k2cos 28 y0 displaystyle y int frac g 2k 2 sin 2 theta mathrm d theta frac g 4k 2 cos 2 theta y 0 nbsp 設定ϕ 28 displaystyle phi 2 theta nbsp 以及r g4k2 displaystyle r cfrac g 4k 2 nbsp 並選定適當的坐標系原點 得x r ϕ sin ϕ displaystyle x r left phi sin phi right nbsp y r 1 cos ϕ displaystyle y r left 1 cos phi right nbsp 此方程式為一標準的擺線方程式 且繞轉圓的半徑為g4k2 displaystyle cfrac g 4k 2 nbsp 反過來說 k g4r 12gr displaystyle k sqrt frac g 4r frac 1 2 sqrt frac g r nbsp 所以下滑所需的時間為T0 p2k prg displaystyle T 0 frac pi 2k pi sqrt frac r g nbsp 阿貝爾力學問題 编辑在廣義等時降線問題中 物體的運動時間不必固定 而是初始釋放位置y0 displaystyle y 0 nbsp 的函數T y0 displaystyle T left y 0 right nbsp 阿貝爾力學問題思考 在T y0 displaystyle T left y 0 right nbsp 已知的情況下 如何找出曲線的方程式 等時降線問題是此運動時間為常數的特殊情況 因物體在無摩擦的軌道上滑行 故力學能守恆 其力學能具有以下表達式 mgy0 12mv2 mgy displaystyle mgy 0 frac 1 2 mv 2 mgy nbsp 式中等號左側為物體的初力學能 mgy displaystyle mgy nbsp 為物體的重力位能 12mv2 displaystyle cfrac 1 2 mv 2 nbsp 為物體的動能 左式中缺少此項是因為物體起初靜止 又因物體沿曲線下滑 v dsdt displaystyle v frac mathrm d s mathrm d t nbsp s displaystyle s nbsp 為曲線的弧長 整理以上所得 dsdt 2g y0 y displaystyle frac mathrm d s mathrm d t pm sqrt 2g left y 0 y right nbsp dt ds2g y0 y 12g y0 y dsdydy displaystyle mathrm d t pm frac mathrm d s sqrt 2g left y 0 y right pm frac 1 sqrt 2g left y 0 y right frac mathrm d s mathrm d y mathrm d y nbsp 這裡的s displaystyle s nbsp 設定為物體距離滑行終點的路徑長 考慮到此路徑長必然隨著時間的推進縮短 等號右側應取負值 dt 12g y0 y dsdydy displaystyle mathrm d t frac 1 sqrt 2g left y 0 y right frac mathrm d s mathrm d y mathrm d y nbsp 下滑時間是dt displaystyle mathrm d t nbsp 自y y0 displaystyle y y 0 nbsp 起始高度 至y 0 displaystyle y 0 nbsp 末高度 的積分 T y0 y y0y 0dt 12g 0y01y0 ydsdydy displaystyle T left y 0 right int y y 0 y 0 mathrm d t frac 1 sqrt 2g int 0 y 0 frac 1 sqrt y 0 y frac mathrm d s mathrm d y mathrm d y nbsp 此關係式稱為阿貝爾積分式 並且在給定dsdy displaystyle cfrac mathrm d s mathrm d y nbsp 的情況下很容易求出積分值 但根據題目設定 必須從積分值求出dsdy displaystyle cfrac mathrm d s mathrm d y nbsp 這裡注意到等號右側中的積分式實際上為dsdy displaystyle cfrac mathrm d s mathrm d y nbsp 與1y displaystyle cfrac 1 sqrt y nbsp 的摺積 可將等式兩側同做拉普拉斯變換成為L T y0 L 1y L dsdy displaystyle mathcal L left T left y 0 right right mathcal L left frac 1 sqrt y right mathcal L left frac mathrm d s mathrm d y right nbsp 因為L 1y pz 12 displaystyle mathcal L left cfrac 1 sqrt y right sqrt pi z frac 1 2 nbsp 我們得到了dsdy displaystyle cfrac mathrm d s mathrm d y nbsp 與T y0 displaystyle T left y 0 right nbsp 兩者拉普拉斯變換後的關係式 L dsdy 2gpz12L T y0 displaystyle mathcal L left frac mathrm d s mathrm d y right sqrt frac 2g pi z frac 1 2 mathcal L left T left y 0 right right nbsp 以上即是未指定T y0 displaystyle T left y 0 right nbsp 時可以得到最後的結果 對於等時降線問題 T y0 T0 constant displaystyle T left y 0 right T 0 operatorname constant nbsp 因此其拉普拉斯變換為L T0 T0L 1 1zT0 displaystyle mathcal L left T 0 right T 0 mathcal L left 1 right frac 1 z T 0 nbsp 因而L dsdy 2gpz12L T0 2gpT0z 12 displaystyle mathcal L left frac mathrm d s mathrm d y right sqrt frac 2g pi z frac 1 2 mathcal L left T 0 right sqrt frac 2g pi T 0 z frac 1 2 nbsp 將此式做逆變換即可得dsdy 2gpT0y 12 displaystyle frac mathrm d s mathrm d y frac sqrt 2g pi T 0 y frac 1 2 nbsp ds 2gpT0y 12dy displaystyle mathrm d s frac sqrt 2g pi T 0 y frac 1 2 mathrm d y nbsp 又dy sin 8ds displaystyle mathrm d y sin theta mathrm d s nbsp 易得y12 2gpT0sin 8 displaystyle y frac 1 2 frac sqrt 2g pi T 0 sin theta nbsp 將等號兩側取微小量 d y12 12y 12dy 2gpT0cos 8d8 displaystyle mathrm d left y frac 1 2 right frac 1 2 y frac 1 2 mathrm d y frac sqrt 2g pi T 0 cos theta mathrm d theta nbsp 代回上方ds displaystyle mathrm d s nbsp 與y 12dy displaystyle y frac 1 2 mathrm d y nbsp 的關係式中 得ds 4g2p2T02cos 8d8 displaystyle mathrm d s frac 4g 2 pi 2 T 0 2 cos theta mathrm d theta nbsp 此式與解析解中得出形式相同的結果 故其解亦為擺線 回顧解析解的結果 ds gk2cos 8d8 displaystyle mathrm d s frac g k 2 cos theta mathrm d theta nbsp 相互比較得T02 p24k2g displaystyle T 0 2 cfrac pi 2 4k 2 g nbsp 又擺線的繞轉圓半徑r g4k2 displaystyle r cfrac g 4k 2 nbsp 最後我們得到T0 prg displaystyle T 0 pi sqrt frac r g nbsp 參見 编辑擺線 最速降線問題 簡諧振子參考 编辑Tautochrone Problem From Wolfram MathWorld 2014 08 07 原始内容存档于2021 02 11 英语 取自 https zh wikipedia org w index php title 等時降線 amp oldid 78762698, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,