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一月 12, 2023
矩阵的平方根, 在数学中, 是算术中的平方根概念的推广, 对一个矩阵a, 如果矩阵b满足, displaystyle, cdot, 那么矩阵b就是a的一个平方根, 目录, 计算, 对角化算法, 丹曼, 毕福斯迭代算法, 参见, 参考来源计算, 编辑与算术中的平方根概念不同, 不一定只有两个, 然而依照矩阵平方根的概念以及矩阵乘法的定义, 只有方块矩阵才有平方根, 对角化算法, 编辑, 如果矩阵的系数域是代数闭域, 比如说复数域c, displaystyle, mathbb, 的时候, 对于一个对角矩阵, 其平方根是. 在数学中 矩阵的平方根是算术中的平方根概念的推广 对一个矩阵A 如果矩阵B满足 B B A displaystyle B cdot B A 那么矩阵B就是A的一个平方根 目录 1 计算 1 1 对角化算法 1 2 丹曼 毕福斯迭代算法 2 参见 3 参考来源计算 编辑与算术中的平方根概念不同 矩阵的平方根不一定只有两个 然而依照矩阵平方根的概念以及矩阵乘法的定义 只有方块矩阵才有平方根 1 对角化算法 编辑 如果矩阵的系数域是代数闭域 比如说复数域C displaystyle mathbb C 的时候 对于一个对角矩阵 其平方根是很容易求得的 只需要将对角线上的每一个元素都换成它的平方根就可以了 这种思路可以推广到一般的可对角化矩阵 一个所谓的可对角化矩阵A是指可以通过相似变换成为对角矩阵D的矩阵 P A P D P 1 displaystyle exists P quad A PDP 1 其中的矩阵P是可逆的矩阵 在这种情况之下 假设矩阵D的形式是 D d 1 0 0 0 0 d 2 0 0 0 0 0 0 d n 1 0 0 0 0 d n displaystyle D begin bmatrix d 1 amp 0 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp d 2 amp 0 amp cdots amp 0 vdots amp 0 amp ddots amp 0 amp vdots 0 amp cdots amp 0 amp d n 1 amp 0 0 amp cdots amp 0 amp 0 amp d n end bmatrix 那么矩阵A的平方根就是 A 1 2 P D 1 2 P 1 displaystyle A frac 1 2 PD frac 1 2 P 1 其中的D 1 2 displaystyle D frac 1 2 是 D 1 2 d 1 0 0 0 0 d 2 0 0 0 0 0 0 d n 1 0 0 0 0 d n displaystyle D frac 1 2 begin bmatrix sqrt d 1 amp 0 amp 0 amp cdots amp 0 0 amp sqrt d 2 amp 0 amp cdots amp 0 vdots amp 0 amp ddots amp 0 amp vdots 0 amp cdots amp 0 amp sqrt d n 1 amp 0 0 amp cdots amp 0 amp 0 amp sqrt d n end bmatrix 2 丹曼 毕福斯迭代算法 编辑 另一种计算矩阵平方根的方法是丹曼 毕福斯迭代算法 在计算一个n n displaystyle n times n 矩阵A的平方根时 先设矩阵Y 0 A displaystyle Y 0 A Z 0 I n displaystyle Z 0 I n I n displaystyle I n 是n n displaystyle n times n 的单位矩阵 然后用以下的迭代公式计算矩阵序列 Y k k 0 displaystyle left Y k right k geqslant 0 和 Z k k 0 displaystyle left Z k right k geqslant 0 Y k 1 Y k Z k 1 2 displaystyle Y k 1 frac Y k Z k 1 2 Z k 1 Z k Y k 1 2 displaystyle Z k 1 frac Z k Y k 1 2 这样的两个序列将会收敛到两个矩阵Y displaystyle Y 和Z displaystyle Z 上 其中Y displaystyle Y 将会是矩阵的平方根 而Z displaystyle Z 将是Y displaystyle Y 的逆矩阵 参见 编辑平方根分解 置换矩阵 正定矩阵参考来源 编辑 中文 张贤达 矩阵分析与应用 清华大学出版社 2008 ISBN 7302092710 第152页 英文 Alvin C Rencher Methods of Multivariate Analysis 2nd Edition Wiley Interscience 2002 ISBN 978 0 471 41889 4 第36页 Cheng Sheung Hun Higham Nicholas J Kenney Charles S Laub Alan J Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy PDF SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 2001 22 4 1112 1125 doi 10 1137 S0895479899364015 原始内容 PDF 存档于2011 08 09 Denman Eugene D Beavers Alex N The matrix sign function and computations in systems Applied Mathematics and Computation 1976 2 1 63 94 doi 10 1016 0096 3003 76 90020 5 取自 https zh wikipedia org w index php title 矩阵的平方根 amp oldid 69851237, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,