射影定理

  此條目介紹的是有關直角三角形的幾何定理。关于存在無限多個質數的數論定理，请见「歐幾里得定理」。

射影定理（台灣稱「母子相似定理」)（英語：Geometric Mean Theorem），又稱歐幾里得定理（英語：Euclid's theorem），是平面幾何中的一個定理。這個定理指出，在一個直角三角形中，一條直角邊的平方，相等於三角形的斜邊，乘以該邊在斜邊上的正投影。^[1]這個定理出現在歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中，是第 47 個命題畢氏定理證明過程的一部分。^[2]

定理內容

 

在 ΔABC 中，∠C = 90°，以及 CD ⊥ AB。AD 及 BD 分別是 AC 及 BC 在底邊 AB 的正投影。

在 ΔABC 中，∠C = 90°。設 CD 在 AB 的上的高，則有：

${\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB}$ 

${\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB}$ 

${\displaystyle {CD}^{2}=AD\cdot BD}$ 

在這裡，AD 及 BD 分別是 AC 及 BC 在底邊 AB 的正投影，故定理以此為名。

證明

注意到 ΔABC 與 ΔACD 是相似三角形。因此可得

${\displaystyle {\frac {AB}{AC}}={\frac {AC}{AD}}}$ 

整理可得

${\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB}$ 

同理，考慮相似三角形 ΔABC 與 ΔCBD，可得

${\displaystyle {\frac {AB}{BC}}={\frac {BC}{BD}}}$ 

整理可得

${\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB}$ 

證明完畢。

相關定理

直角三角形面積

在上面的 ΔABC 中，我們有：

${\displaystyle AB\cdot CD=AC\cdot BC}$ 

考慮三角形的面積，即可容易地證明。

勾股定理

勾股定理，是歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中的第 47 個命題。^[2]這個定理指出：

${\displaystyle {AB}^{2}={AC}^{2}+{BC}^{2}}$ 

勾股定理與射影定理有密切關係。事實上，在《幾何原本》中，射影定理正是該證明過程的一部分。從射影定理可知：

${\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB}$ 

${\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB}$ 

將兩條等式相加，則可得：

${\displaystyle {AC}^{2}+{BC}^{2}=AD\cdot AB+BD\cdot AB}$ 

由於 AD + BD = AB，因此可得：

${\displaystyle {AB}^{2}={AC}^{2}+{BC}^{2}}$ 

證明完畢。

幾何平均定理

幾何平均定理（英语：Geometric mean theorem），是在《幾何原本》第六卷中的第 8 個命題。^[3]這個定理指出：

${\displaystyle {CD}^{2}=AD\cdot BD}$ 

也就是說，CD 是 AD 和 BD 的幾何平均。

與射影定理一樣，幾何平均定理可從相似三角形得證。

一般三角形的情況

 

邊長 a 及 b 在底邊 c 的正投影，分別是 a cos β 及 b cos α。

對於 ∠C ≠ 90° 的情況，三角形邊長的正投影可用餘弦求得：

${\displaystyle AD=AC\cos \angle A}$ 

${\displaystyle BD=BC\cos \angle B}$ 

以上結果從餘弦的定義直接可得。

把上面兩式相加，即可得：

${\displaystyle AB=AC\cos \angle A+BC\cos \angle B}$ 

以上公式，又被稱為「第一餘弦定理」。^[4]然而，一般「餘弦定理」所指的，是另一條定理（「第二餘弦定理」），詳見餘弦定理。

三維空間上的推廣

三直角四面體

 

一個四面體。若構成頂點的三個面角皆為直角，則這是一個三直角四面體。

射影定理在三維空間上，也有相應的推廣。設三直角四面體（英语：Trirectangular tetrahedron） ABCD 中，∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 90°。又設 D 在斜面 ΔABC 的正投影為 E。我們則有：

${\displaystyle [\triangle ADB]^{2}=[\triangle AEB]\cdot [\triangle ABC]}$ 

${\displaystyle [\triangle ADC]^{2}=[\triangle AEC]\cdot [\triangle ABC]}$ 

${\displaystyle [\triangle BDC]^{2}=[\triangle BEC]\cdot [\triangle ABC]}$ 

其中 [ΔABC] 表示 ΔABC 的面積。

把以上三條等式相加，則可得德古阿定理：

${\displaystyle [\triangle ABC]^{2}=[\triangle ADB]^{2}+[\triangle ADC]^{2}+[\triangle BDC]^{2}}$ 

德古阿定理可以視為畢氏定理在三維空間上的其中一種推廣。^[5]

一般四面體

在四面體 ABCD 中，設 ΔABC 為底面。又設 D 在 ΔABC 的正投影為 E。我們則有：

${\displaystyle AE=AD\cos \alpha }$ 

${\displaystyle BE=BD\cos \beta }$ 

${\displaystyle CE=CD\cos \gamma }$ 

其中 α 、β 及 γ 分別是 AD 、BD 及 CD 與底面 ΔABC 的夾角。

另外亦有：

${\displaystyle [\triangle ABE]=[\triangle ABD]\cos \theta }$ 

${\displaystyle [\triangle ACE]=[\triangle ACD]\cos \phi }$ 

${\displaystyle [\triangle BCE]=[\triangle BCD]\cos \psi }$ 

其中 θ 、ϕ 及 ψ 分別是 ΔABD 、ΔACD 及 ΔBCD 與底面 ΔABC 的夾角。

將上面三條等式相加，可得：

${\displaystyle [\triangle ABC]=[\triangle ABD]\cos \theta +[\triangle ACD]\cos \phi +[\triangle BCD]\cos \psi }$ 

是上面提到「第一餘弦定理」的三維推廣。

任意圖形的投影

更進一步地說，面積為 S 的任意平面圖形，在底面的正投影的面積 S_proj，都可用餘弦求得：

${\displaystyle S_{\mathrm {proj} }=S\cos \theta }$ 

其中 θ 是該平面圖形與底面的夾角。

參考資料

1. 曹才翰 主編; 沈復興, 孫瑞清, 餘炯沛等 副編. 《中國中學教學百科全書 • 數學卷》. 瀋陽出版社. 1991. ISBN 9787805564241.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
2. Euclid. Proposition 47, Element, Book I. c 300 BC [2020-02-15]. （原始内容于2021-02-24）.  请检查|date=中的日期值 (帮助) 引证错误：带有name属性“Euclid_I47”的<ref>标签用不同内容定义了多次
3. Euclid. Proposition 8, Element, Book VI. c 300 BC [2020-02-15]. （原始内容于2020-02-03）.  请检查|date=中的日期值 (帮助)
4. 中原晴彦. エジプト人のための三角比入門 (PDF). 順天サイエンスライブラリー. 2003 [2020-02-15]. （原始内容 (PDF)于2020-02-15）. 
5. Sergio A. Alvarez. Note on an n-dimensional Pythagorean theorem (PDF). Center for Nonlinear Analysis and Department of Mathematical Sciences, Carnegie Mellon University. [2020-02-15]. （原始内容 (PDF)于2012-10-02）. 

參見

• 正投影
• 直角三角形
• 三直角四面體（英语：Trirectangular tetrahedron）
• 畢氏定理
• 幾何平均定理（英语：Geometric mean theorem）
• 德古阿定理