潤德勒座標

相對論中，「雙曲加速參考系」^{[H 1][1]}座標構成了平直閔考斯基時空中重要且有用的座標卡系統。^[2][3][4][5]狹義相對論中，一均勻加速的物體進行所謂的雙曲運動（英语：hyperbolic motion (relativity)）；在其固有參考系中，該物體是靜止的。這現象可與均勻重力場相應。關於平直時空中之加速度的一般性論述，參見狹義相對論中的加速度。

本文中，光速定義為c = 1，慣性座標系為(X,Y,Z,T)，雙曲座標系則為(x,y,z,t)。這類雙曲座標系可主要分為兩大類，與加速觀察者位置有關：若觀察者時間T = 0時位在X = 1/α（其中α為常數值的固有加速度，由共動的加速規測得），則雙曲座標系稱為「潤德勒座標」（或譯林德勒座標；英語：Rindler coordinates），與之相應的是「潤德勒度規」（Rindler metric）^[6]若觀察者時間T = 0時位在X = 0，則雙曲座標系有時稱為「穆勒座標」（Møller coordinates）^[1]或「寇特勒-穆勒座標」（Kottler-Møller coordinates），與之相應的是「寇特勒-穆勒度規」（Kottler-Møller metric）。^[7]透過採用雷達座標^[8]，可得到一常與雙曲運動觀察者有關的替代座標卡（Chart）。雷達座標有時也稱作「拉斯座標」（Lass coordinates）^[9][10] 寇特勒-穆勒座標以及拉斯座標也常標示為潤德勒座標。^[11]

關於潤德勒座標的歷史，這樣的座標系在狹義相對論發表不久後即被引入，在研究雙曲運動此一概念的同時也被研究：與平直閔考斯基時空的關係如阿爾伯特·愛因斯坦（1907年，1912年）^{[H 2]}、馬克斯·玻恩（1909年）^{[H 1]}、阿諾·索末菲（1910年）^{[H 3]}、馬克斯·馮·勞厄（1911年）^{[H 4]}、亨德里克·勞侖茲（1913年）^{[H 5]}、弗里德里希·寇特勒（英语：Friedrich Kottler）（1914年）^{[H 6]}、沃夫岡·包立（1921年）^{[H 7]}、Karl Bollert（1922年）^{[H 8]}、Stjepan Mohorovičić（1922年）^{[H 9]}、喬治·勒梅特（1924年）^{[H 10]}、愛因斯坦與納森·羅森（1935年）^{[H 2]}、Christian Møller（1943年，1952年）^{[H 11]}、Fritz Rohrlich（1963年）^[12]、哈利·拉斯（英语：Harry Lass）（1963年）^[13]；與廣義相對論中平直或彎曲時空的關聯性：沃夫岡·潤德勒（1960年，1966年）^[14][15]。

潤德勒參考系的特徵

 

潤德勒圖卡（Rindler chart），方程式(1a)中${\displaystyle \alpha =0.5}$ ，繪於閔考斯基圖上。虛線為潤德勒視界（Rindler horizons）。

以沿${\displaystyle X}$ -direction方向、常數值固有加速度${\displaystyle \alpha }$ 進行雙曲運動的物體，其世界線為原時${\displaystyle \tau }$ 以及快度${\displaystyle \alpha \tau }$ 的函數，關係式為：^[16]

${\displaystyle T=x\sinh(\alpha \tau ),\quad X=x\cosh(\alpha \tau )}$ 。

其中${\displaystyle x=1/\alpha }$ 為常數，${\displaystyle \alpha \tau }$ 為變數。這樣的世界線形態為雙曲線${\displaystyle X^{2}-T^{2}=x^{2}}$ 。阿諾·索末菲^{[H 3][17]}展示了此方程組可重新表示為：${\displaystyle x}$ 為變數，而${\displaystyle \alpha \tau }$ 為常數；如此可表現出共動觀察者所測量到雙曲運動物體的「靜止型態」。設定${\displaystyle \tau =t}$ ，也就是採用了觀察者的原時作為整體雙曲加速參考系的時間，則慣性座標與雙曲座標之間的轉換式變為：^[6][9]

${\displaystyle T=x\sinh(\alpha t),\quad X=x\cosh(\alpha t),\quad Y=y,\quad Z=z}$

(1a)

逆轉換式為：

${\displaystyle t={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X}}\right),\quad x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\quad y=Y,\quad z=Z}$ 

對其微分並代入閔考斯基度規${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+dX^{2}+dY^{2}+dZ^{2}}$ ，則雙曲加速系的度規張量為

${\displaystyle ds^{2}=-(\alpha x)^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

(1b)

各種轉換式

潤德勒觀察者

參考文獻

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2. 引用错误：没有为名为Einstein的参考文献提供内容
3. 引用错误：没有为名为Sommerfeld的参考文献提供内容
4. 引用错误：没有为名为Laue的参考文献提供内容
5. 引用错误：没有为名为Lorentz的参考文献提供内容
6. 引用错误：没有为名为Kottler的参考文献提供内容
7. 引用错误：没有为名为Pauli的参考文献提供内容
8. 引用错误：没有为名为Bollert的参考文献提供内容
9. 引用错误：没有为名为Mohoro的参考文献提供内容
10. 引用错误：没有为名为Lemaitre的参考文献提供内容
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11. 舉例而言，Birrill & Davies (1982), pp. 110-111或Padmanabhan (2010), p. 126將方程式(2g, 2h)標示為潤德勒座標或潤德勒參考系；Tilbrook (1997) pp. 864-864 or Jones & Wanex (2006)將方程式(2a, 2b)標示為潤德勒座標。
12. Rohrlich, Fritz. The principle of equivalence. Annals of Physics. 1963, 22 (2): 169–191. doi:10.1016/0003-4916(63)90051-4. 
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