波尔文积分

波尔文积分（英語：Borwein integral）是一种由波尔文父子发现的性质特殊的积分，常用于作为看似存在的数学规律最终失效的例子。2001年，大卫·波尔文（David Borwein）和乔纳森·波尔文（英语：Jonathan Borwein）共同发表了这个涉及sinc函数的积分^[1]。

常见的例子为：

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$

这种规律一直到

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

都是成立的。

但是到了下一个数，这个规律就突然失效了：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}}$

公式

对于给定的一系列非零实数，即${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\cdots }$ ，可以给出${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\mathrm {d} x}$ 的封闭公式形式。为了计算这个公式，其中需要做的就是计算含有${\displaystyle a_{k}}$ 相关的量之和。特别的，设${\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\cdots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}}$ 即由${\displaystyle \pm 1}$ 构成的${\displaystyle n}$ 元组，于是可以写成${\displaystyle b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}}$ 即有关${\displaystyle a_{k}}$ 的各种加减形式的总和，并且令${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}}$ （其结果为${\displaystyle \pm 1}$ ）。基于上述定义，可以得到该积分的值为：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2a_{0}}}\cdot C_{n}}$ 

其中：

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}\cdot n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\cdot \sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn} (b_{n})}$ 

在这里如果${\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|}$ ，那么有${\displaystyle C_{n}=1}$ 。

进一步地，如果存在一个${\displaystyle n}$ 对于每个${\displaystyle k=0,\cdots ,n-1}$ 总有${\displaystyle 0<a_{n}<2a_{k}}$ 成立，并且有${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$ ，即${\displaystyle n}$ 为首次超过${\displaystyle a_{0}}$ 的前几项之和时的元素数量，即当${\displaystyle k=0,\cdots ,n-1}$ 时有${\displaystyle C_{k}=1}$ ，但在其他情况时：

${\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}\cdot n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}}$ 

在这里令${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2k+1}}}$ ，即当${\displaystyle n=7}$ 时${\displaystyle a_{7}={\frac {1}{15}}}$ ，此时${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955}$ 但是${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02}$ ，又由于${\displaystyle a_{0}=1}$ ，于是该公式成立（并且移去其中任何因子也成立）：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {\sin {\frac {x}{3}}}{\frac {x}{3}}}\cdots {\frac {\sin {\frac {x}{13}}}{\frac {x}{13}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}}$ 

但在另一方面，则有：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {\sin {\frac {x}{3}}}{\frac {x}{3}}}\cdots {\frac {\sin {\frac {x}{15}}}{\frac {x}{15}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\left[1-{\frac {\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}-1\right)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)^{-1}}}\right]}$ 

即与前面给出的公式的结果相同。

参考资料

1. Borwein, David; Borwein, Jonathan M., Some remarkable properties of sinc and related integrals [sinc函数及其相关积分的一些引人注意的性质], The Ramanujan Journal, 2001, 5 (1): 73–89, ISSN 1382-4090, MR 1829810, doi:10.1023/A:1011497229317 （英语）