欧拉定理, 几何, 在平面几何学中的欧拉定理是说, 三角形的外心与内心之间的距离d, displaystyle, 可表示为d, displaystyle, sqrt, 提示, 此条目的主题不是欧拉公式或欧拉定理, 数论, displaystyle, 其中r, displaystyle, 为外接圆半径, displaystyle, 为内切圆半径, 从欧拉定理可推出欧拉不等式, 當三角形等邊時, 等號成立, displaystyle, displaystyle, 证明, 编辑, 當d, displaystyle, 表示. 在平面几何学中的欧拉定理是说 三角形的外心与内心之间的距离d displaystyle d 可表示为d I O R R 2 r displaystyle d IO sqrt R R 2r 提示 此条目的主题不是欧拉公式或欧拉定理 数论 d 2 R R 2 r displaystyle d 2 R R 2r 其中R displaystyle R 为外接圆半径 r displaystyle r 为内切圆半径 从欧拉定理可推出欧拉不等式 當三角形等邊時 等號成立 R displaystyle R 2 r displaystyle 2r 证明 编辑 1 當d 0 displaystyle d 0 時 表示外心O displaystyle O 與內心I displaystyle I 重合 此時易證三角形A B C displaystyle displaystyle ABC 為正三角形 且R 2 r displaystyle R 2r 因此d 2 R R 2 r displaystyle displaystyle d 2 R R 2r 2 當d displaystyle d 大於0 displaystyle 0 時 請參考右下圖 a 设三角形A B C displaystyle ABC 的外心为O displaystyle O 内心为I displaystyle I 延长A I displaystyle AI 交外接圆于L displaystyle L 则L displaystyle L 为弧B C displaystyle BC 的中点 连L O displaystyle LO 延长交外接圆于M displaystyle M 过I displaystyle I 作I D displaystyle ID 垂直于A B displaystyle AB D displaystyle D 为垂足 则I D r displaystyle ID r 易证三角形A D I displaystyle displaystyle ADI 与三角形M B L displaystyle displaystyle MBL 相似 故I D B L A I M L displaystyle frac ID BL frac AI ML 即I D M L A I B L displaystyle ID times ML AI times BL 所以2 R r A I B L displaystyle 2Rr AI times BL b 连接B I displaystyle displaystyle BI 因 B I L B A I A B I B A C 2 A B C 2 displaystyle angle BIL angle BAI angle ABI frac angle BAC 2 frac angle ABC 2 I B L I B C C B L A B C 2 B A C 2 displaystyle angle IBL angle IBC angle CBL frac angle ABC 2 frac angle BAC 2 所以 B I L I B L displaystyle angle BIL angle IBL 有B L I L displaystyle displaystyle BL IL 由 a 的結論知A I I L 2 R r displaystyle AI cdot IL 2Rr c 設O I displaystyle displaystyle OI 延长线交外接圆于P Q displaystyle displaystyle P displaystyle Q 两点 则P I Q I A I I L 2 R r displaystyle PI cdot QI AI cdot IL 2Rr 所以 R d R d 2 R r displaystyle displaystyle R d R d 2Rr 即d 2 R R 2 r displaystyle displaystyle d 2 R R 2r 取自 https zh wikipedia org w index php title 欧拉定理 几何 amp oldid 60903335, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,