^Selberg, A.; Chowla, S. "On Epstein's Zeta-Function.". J. reine angew. Math. 1967, 227: 86–110.
十月 19, 2023
模λ函數, 在數學中, displaystyle, lambda, 又稱橢圓λ函數, 是定義於複上半平面h的全純函數, 具有高度對稱性, 该函数在同餘子群Γ, 的对h的分式線性作用下不變, 亦是商空间Γ, h上函數域的生成元, 也就是說, 這個函數是模曲線x, 的主模曲线, 英语, hauptmodul, 特别地, 该函数沿實軸平移兩個單位, 函數值不改变, 即λ, displaystyle, lambda, lambda, 在任意點τ, displaystyle, 其值可用於描述橢圓曲線e, displaysty. 在數學中 模l函數l t displaystyle lambda tau 1 又稱橢圓l函數 是定義於複上半平面H的全純函數 具有高度對稱性 该函数在同餘子群G 2 的对H的分式線性作用下不變 亦是商空间G 2 H上函數域的生成元 也就是說 這個函數是模曲線X 2 的主模曲线 英语 Hauptmodul 特别地 该函数沿實軸平移兩個單位 函數值不改变 即l t 2 l t displaystyle lambda tau 2 lambda tau 2 在任意點t displaystyle tau 上 其值可用於描述橢圓曲線E C 1 t displaystyle E mathbb C langle 1 tau rangle 对其投影線E 1 displaystyle E 1 的分歧覆盖映射的四个分支點 英语 Branch point 之交比 式中 1 为E对原点的反演变换生成的自同构群 模l函數的色相環複變函數圖形 其中黑色代表0 白色代表無窮 灰色代表未定義點 其餘顏色的色相代表複數輻角且明亮度代表複數的模 繪製範圍在實部 3至3內 虛部 3至3內 從中可以看到模l函數僅在複數上半平面有定義 並具備高度對稱性 並且沿著實數軸每2個單位圖樣會重複一次模l函數具有如下的傅立叶展开式 l t 16 q 128 q 2 704 q 3 3072 q 4 11488 q 5 38400 q 6 displaystyle lambda left tau right 16q 128q 2 704q 3 3072q 4 11488q 5 38400q 6 dots 其中q e p i t displaystyle q e pi i tau A115977目录 1 模性質 2 與其他橢圓函數的關聯 3 橢圓模量 4 參見 5 參考文獻模性質 编辑模l函數在由下式生成的模群 英语 Modular group 的主同余子群G 2 的作用下保持不变 3 115 t t 2 t t 1 2 t displaystyle tau mapsto tau 2 tau mapsto frac tau 1 2 tau nbsp 模群自身的生成元则以如下方式作用于模l函数之上 3 109 t t 1 l l l 1 displaystyle tau mapsto tau 1 lambda mapsto frac lambda lambda 1 nbsp t 1 t l 1 l displaystyle tau mapsto frac 1 tau lambda mapsto 1 lambda nbsp 與其他橢圓函數的關聯 编辑l函數為亞可比模量 Jacobi modulus 的平方 3 108 即l t k 2 t displaystyle lambda tau k 2 tau nbsp 亦可以戴德金h函數與8函數表达 l t 2 h t 2 h 2 2 t h 3 t 8 16 h t 2 h 2 t 8 16 8 2 4 0 t 8 3 4 0 t displaystyle lambda tau Bigg frac sqrt 2 eta tfrac tau 2 eta 2 2 tau eta 3 tau Bigg 8 frac 16 left frac eta tau 2 eta 2 tau right 8 16 frac theta 2 4 0 tau theta 3 4 0 tau nbsp 1 l t 1 4 l t 1 4 1 2 h t 4 h t 4 2 8 4 2 0 t 2 8 2 2 0 t 2 displaystyle frac 1 big lambda tau big 1 4 big lambda tau big 1 4 frac 1 2 left frac eta tfrac tau 4 eta tau right 4 2 frac theta 4 2 0 tfrac tau 2 theta 2 2 0 tfrac tau 2 nbsp 其中 3 63 8 2 0 t n q n 1 2 2 displaystyle theta 2 0 tau sum n infty infty q left n frac 1 2 right 2 nbsp 8 3 0 t n q n 2 displaystyle theta 3 0 tau sum n infty infty q n 2 nbsp 8 4 0 t n 1 n q n 2 displaystyle theta 4 0 tau sum n infty infty 1 n q n 2 nbsp q e p i t displaystyle q e pi i tau nbsp l函數亦可以魏爾斯特拉斯橢圓函數在定义其的格子的棱边中点和面心处的函数值表达 若令 w 1 w 2 displaystyle omega 1 omega 2 nbsp 為满足t w 2 w 1 displaystyle tau frac omega 2 omega 1 nbsp 的基本週期二元組 e 1 w 1 2 e 2 w 2 2 e 3 w 1 w 2 2 displaystyle e 1 wp left frac omega 1 2 right e 2 wp left frac omega 2 2 right e 3 wp left frac omega 1 omega 2 2 right nbsp 則有 3 108 l e 3 e 2 e 1 e 2 displaystyle lambda frac e 3 e 2 e 1 e 2 nbsp 魏尔斯特拉斯函数在上述三点的值各不相同 這意味著l函數取不到值0或1 3 108其與克萊因j函數 英语 Klein J invariant 的關係為 3 117 4 j t 256 1 l 1 l 3 l 1 l 2 256 1 l l 2 3 l 2 1 l 2 displaystyle j tau frac 256 1 lambda 1 lambda 3 lambda 1 lambda 2 frac 256 1 lambda lambda 2 3 lambda 2 1 lambda 2 nbsp 橢圓模量 编辑 nbsp l x 函數的色相環複變函數圖形 繪製範圍在實部 3至3內 虛部 3至3內 nbsp l x 函數的色相環複變函數圖形 繪製範圍在實部 1至1內 虛部 1至1內有一個與模l函數相關的函數 l x 函數 其給出了橢圓模量k的值 第一類完全橢圓積分K k 與其互補對應的K 1 k 2 displaystyle K left sqrt 1 k 2 right nbsp 關係如下 K 1 l x 2 K l x x displaystyle frac K left sqrt 1 lambda x 2 right K lambda x sqrt x nbsp l x 函數的函數值可透過下列式子計算 l x ϑ 2 2 0 exp p x ϑ 3 2 0 exp p x displaystyle lambda x frac vartheta 2 2 0 exp pi sqrt x vartheta 3 2 0 exp pi sqrt x nbsp l x a exp a 1 2 2 p x 2 a exp a 2 p x 2 displaystyle lambda x left sum a infty infty exp a 1 2 2 pi sqrt x right 2 left sum a infty infty exp a 2 pi sqrt x right 2 nbsp l x a sech a 1 2 p x a sech a p x 1 displaystyle lambda x left sum a infty infty operatorname sech a 1 2 pi sqrt x right left sum a infty infty operatorname sech a pi sqrt x right 1 nbsp 其中ϑ displaystyle vartheta nbsp 為8函數 此外l函數與l x 函數存在下列關聯 l x l i x displaystyle lambda x sqrt lambda i sqrt x nbsp 所有的有理數r K l r displaystyle K left lambda r right nbsp 與E l r displaystyle E left lambda r right nbsp 都可以視為橢圓積分的奇異值 可透過有限的伽馬函數表示 5 參見 编辑模形式參考文獻 编辑 日本数学会 数学百科辞典 科学出版社 1984 2021 07 15 原始内容存档于2021 10 23 Weisstein Eric W 编 Elliptic Lambda Function at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 Chandrasekharan K Elliptic Functions Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 281 Springer Verlag 108 121 1985 ISBN 3 540 15295 4 Zbl 0575 33001 Rankin Robert A Modular Forms and Functions Cambridge University Press 226 228 1977 ISBN 0 521 21212 X Zbl 0376 10020 Selberg A Chowla S On Epstein s Zeta Function J reine angew Math 1967 227 86 110 取自 https zh wikipedia org w index php title 模l函數 amp oldid 75224057, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,