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四月 07, 2024
樊𰋀不等式, 注意, 本页有unihan扩展g区汉字, 𰋀, 這些字符可能會错误显示, 詳见unicode扩展汉字, 此條目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑, 2015年12月14日, 請邀請適合的人士改善本条目, 更多的細節與詳情請參见討論頁, 樊畿不等式, 英語, inequality, 是华裔数学家樊畿发现的一个不等式, 這個不等式的意義, 在於因其與算幾不等式相似, 從中可以推廣出很多結果, 目录, 敘述, 證明, 相關不等式, 參考文獻敘述, 编辑, 用最簡單的形式可以表述為, 如果實數x1, . 注意 本页有Unihan扩展G区汉字 𰋀 這些字符可能會错误显示 詳见Unicode扩展汉字 此條目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑 2015年12月14日 請邀請適合的人士改善本条目 更多的細節與詳情請參见討論頁 樊畿不等式 英語 Ky Fan inequality 是华裔数学家樊畿发现的一个不等式 這個不等式的意義 在於因其與算幾不等式相似 從中可以推廣出很多結果 目录 1 敘述 2 證明 3 相關不等式 4 參考文獻敘述 编辑樊𰋀不等式 用最簡單的形式可以表述為 如果實數x1 xn displaystyle x 1 ldots x n nbsp 都符合0 lt xi 12 displaystyle 0 lt x i leq 1 over 2 nbsp 那麼 i 1nxi 1n i 1n 1 xi 1n 1n i 1nxi1n i 1n 1 xi displaystyle frac left prod i 1 n x i right frac 1 n left prod i 1 n 1 x i right frac 1 n leq frac 1 over n sum i 1 n x i 1 over n sum i 1 n 1 x i nbsp 等式成立當且僅當x1 xn displaystyle x 1 cdots x n nbsp 若分別記xi displaystyle x i nbsp 的算術平均和幾何平均為An 1n i 1nxi displaystyle A n equiv frac 1 n sum i 1 n x i nbsp Gn i 1nxi 1n displaystyle G n equiv left prod i 1 n x i right frac 1 n nbsp 又記1 xi displaystyle 1 x i nbsp 的這兩種平均為An 1n i 1n 1 xi displaystyle A n prime equiv frac 1 n sum i 1 n 1 x i nbsp Gn i 1n 1 xi 1n displaystyle G n prime equiv left prod i 1 n 1 x i right frac 1 n nbsp 那麼不等式可寫作 GnGn AnAn displaystyle frac G n G n prime leq frac A n A n prime nbsp 如此可以看出它和算幾不等式Gn An displaystyle G n leq A n nbsp 的相似處 證明 编辑利用函數f x ln x ln 1 x displaystyle f x ln x ln 1 x nbsp 在0 lt x 12 displaystyle 0 lt x leq frac 1 2 nbsp 的凹性 套用延森不等式 這樣得到一個簡單的證明 這證明可以直接推廣至不等式的加權形式 i 1nxigi i 1n 1 xi gi i 1ngixi i 1ngi 1 xi displaystyle frac prod i 1 n x i gamma i prod i 1 n left 1 x i right gamma i leq frac sum i 1 n gamma i x i sum i 1 n gamma i left 1 x i right nbsp 其中gi 0 displaystyle gamma i geq 0 nbsp i 1ngi 1 displaystyle sum i 1 n gamma i 1 nbsp 相關不等式 编辑如果記調和平均為Hn 11n i 1n1xi displaystyle H n frac 1 frac 1 n sum i 1 n frac 1 x i nbsp Hn 11n i 1n11 xi displaystyle H n prime frac 1 frac 1 n sum i 1 n frac 1 1 x i nbsp 在W Wang P Wang 1984 有如下推廣 HnHn GnGn AnAn displaystyle frac H n H n prime leq frac G n G n prime leq frac A n A n prime nbsp 參考文獻 编辑Horst Alzer Verscharfung einer Ungleichung von Ky Fan 永久失效連結 Aequationes Mathematicae 36 1988 246 250 E F Beckenbach R Bellman Inequalities Springer Verlag Berlin 1983 引用在 Alzer 1988 Edward Neuman Josef Sandor On the Ky Fan inequality and related inequalities I Mathematical Inequalities amp Applications Volume 5 Number 1 2002 49 56 Edward Neuman Josef Sandor On the Ky Fan inequality and related inequalities II 页面存档备份 存于互联网档案馆 Bulletin of the Australian Mathematical Society Volume 72 Number 1 2005 87 107 Josef Sandor Tiberiu Trif A new refinement of the Ky Fan inequality Mathematical Inequalities amp Applications Volume 2 Number 4 1999 529 533 W Wang P Wang A class of inequalities for the symmetric functions 中文 Acta Math Sinica 27 1984 485 497 引用在 Alzer 1988 取自 https zh wikipedia org w index php title 樊𰋀不等式 amp oldid 77558760, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,