格羅莫夫積

格羅莫夫(Gromov)積是度量幾何的一個概念，以米哈伊爾·格羅莫夫命名。在一個測地度量空間中，從同一點出來的兩條測地線，格羅莫夫積大概量度這兩條線彼此相近而行的距離。不過，格羅莫夫積的定義並不需要測地線存在。^[1]

格羅莫夫積可用以定義格羅莫夫雙曲空間及其理想邊界。

定義

設${\displaystyle (X,d)}$ 為度量空間，${\displaystyle x,y,z}$ 為${\displaystyle X}$ 中三點，則${\displaystyle y,z}$ 以${\displaystyle x}$ 為基點的格羅莫夫積定義為

${\displaystyle (y,z)_{x}:={\frac {1}{2}}{\big (}d(x,y)+d(x,z)-d(y,z){\big )}}$ 

性質

• 對稱性：${\displaystyle (y,z)_{x}=(z,y)_{x}}$ 
• 若基點和另一點相同，格羅莫夫積為零：${\displaystyle (y,z)_{y}=0}$ ，${\displaystyle (y,z)_{z}=0}$ 
• 以下關係式成立：

${\displaystyle d(x,y)=(x,z)_{y}+(y,z)_{x}}$ 

${\displaystyle 0\leq (y,z)_{x}\leq \min {\big \{}d(y,x),d(z,x){\big \}}}$ 

• 格羅莫夫積是利普希茨連續的：

${\displaystyle {\big |}(y,z)_{p}-(y,z)_{q}{\big |}\leq d(p,q)}$ 

${\displaystyle {\big |}(x,y)_{p}-(x,z)_{p}{\big |}\leq d(y,z)}$ 

• 在歐幾里德幾何中，若${\displaystyle \triangle ABC}$ 為平面上任意一個三角形，${\displaystyle (B,C)_{A}}$ 等於${\displaystyle A}$ 點到內切圓與AB及AC的兩個切點的距離。

 

• 設${\displaystyle X}$ 為樹，則對${\displaystyle X}$ 中任意三點${\displaystyle x,y,z}$ ，${\displaystyle (y,z)_{x}}$ 是從${\displaystyle x}$ 到${\displaystyle y,z}$ 的兩條線段重合部份的長度。
• 設${\displaystyle X}$ 為測地度量空間。記${\displaystyle [y,z]}$ 為連接點${\displaystyle y,z}$ 的一條測地線段。（注意連接此兩點的測地線段未必唯一。）對${\displaystyle X}$ 中任意三點${\displaystyle x,y,z}$ 有不等式：

${\displaystyle d(x,[y,z])\geq (y,z)_{x}}$ 

• 格羅莫夫雙曲空間其中一個定義為：^[2]

設${\displaystyle \delta \geq 0}$ 為常數。度量空間${\displaystyle (X,d)}$ 稱為δ-雙曲，若${\displaystyle X}$ 中任意點${\displaystyle p,x,y,z}$ 都符合不等式

${\displaystyle (x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta }$ 

參考

1. Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75--263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
2. É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.