格尔丰德-施奈德定理

格尔丰德-施奈德定理（英語：Gelfond–Schneider theorem）是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由苏联数学家亚历山大·格尔丰德（英语：Alexander Gelfond）和德国数学家西奧多·施耐德在1934年分别独立证明，它解決了希尔伯特第七问题。

表述

如果${\displaystyle \alpha }$ 和${\displaystyle \beta }$ 是代数数，其中${\displaystyle \alpha \notin \{0,1\}}$ ，且${\displaystyle \beta }$ 不是有理数，那么任何${\displaystyle \alpha ^{\beta }=e^{\{\beta \log \alpha \}}}$ 的值一定是超越数。

评论

• ${\displaystyle \alpha }$  和 ${\displaystyle \beta }$  不限于实数，也可以是虚部不为零的复数。因此，${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\exp\{\beta \log \alpha \}}$ 可以是多值的，其中“log”表示复数对数，且该定理对每个值都是成立的。
• 该定理的一个等价的表述是：如果 ${\displaystyle \alpha }$  和 ${\displaystyle \gamma }$  是非零的代数数，那么 ${\displaystyle (\log \gamma )/(\log \alpha )}$  要么是有理数，要么是超越数。

使用反證法。

令 ${\displaystyle \beta =(\log \gamma )/(\log \alpha )=\log _{\alpha }\gamma }$ 

假設 ${\displaystyle \beta }$  不為超越數，也不為有理數，即為代數數

根據此定理，${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\gamma }$  為超越數

但 ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\alpha ^{\log _{\alpha }\gamma }=\gamma }$  卻是代數數，矛盾。

故 ${\displaystyle (\log \gamma )/(\log \alpha )}$  要么是有理数，要么是超越数。

• 如果没有 ${\displaystyle \alpha }$ ，${\displaystyle \beta }$  是代数数的限制，这个定理未必成立。例如：
  • 令 ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$  為超越數（由本定理可得知），${\displaystyle \beta ={\sqrt {2}}}$  為代數數，則

${\displaystyle {\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2}$ ，是代數數。

• • 令 ${\displaystyle \alpha =3}$  為代數數，${\displaystyle \beta =\log 2/\log 3}$  為超越數，則

${\displaystyle \alpha ^{\beta }=2}$ ，是代数数。

定理的应用

利用这个定理，立刻就可以推出以下实数的超越性：

• ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ （格尔丰德-施奈德常数）和它的平方根 ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ 。
• 格尔丰德常数

${\displaystyle e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.1406926328\ldots }$ 

• ${\displaystyle i^{i}=\left(e^{\frac {i\pi }{2}}\right)^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0.20787957635\ldots }$ 

参见

• 林德曼-魏尔斯特拉斯定理
• Schanuel猜想，如果证明了这个猜想，就可以同时推出格尔丰德-施奈德定理和林德曼-魏尔斯特拉斯定理。

参考文献

• Irrational Numbers, by Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956
• 埃里克·韦斯坦因. Gelfond-Schneider Theorem. MathWorld.