李亞普諾夫函數

李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是用來證明一動力系統或自治微分方程穩定性的函數。其名稱來自俄罗斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫（Александр Михайлович Ляпунов）。李亞普諾夫函數在穩定性理論及控制理論中相當重要。

若一函數可能可以證明系統在某平衡點的穩定性，此函數稱為李亞普諾夫候選函數（Lyapunov-candidate-function）。不過目前還找不到一般性的方式可建構（或找到）一個系統的李亞普諾夫候選函數，而找不到李亞普諾夫函數也不代表此系統不穩定。在動態系統中，有時會利用守恆律來建構李亞普諾夫候選函數。

針對自治系統的李亞普諾夫定理，直接使用李亞普諾夫候選函數的特性。在尋找一個系統平衡點附近的穩定性時，此定理是很有效的工具。不過此定理只是一個證明平衡點穩定性的充分條件，不是必要條件。而尋找李亞普諾夫函數也需要碰運氣，通常會用試誤法（trial and error）來尋找李亞普諾夫函數。

李亞普諾夫候選函數的定義

令

${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ 

為純量函數。
若要${\displaystyle V}$ 為李亞普諾夫候選函數，函數${\displaystyle V}$ 需為局部正定函數，亦即

${\displaystyle V(0)=0\,}$ 

${\displaystyle V(x)>0\quad \forall x\in U\setminus \{0\}}$ 

其中 ${\displaystyle U}$  是 ${\displaystyle x=0}$  的鄰域。

系統平衡點的轉換

令

${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ 

${\displaystyle {\dot {y}}=g(y)\,}$ 

為一個自治的動態系統，其平衡點為${\displaystyle y^{*}\,}$ :

${\displaystyle 0=g(y^{*})\,}$ 

可利用${\displaystyle x=y-y^{*}\,}$  的座標轉換，使得

${\displaystyle {\dot {x}}=g(x+y^{*})=f(x)\,}$ 

${\displaystyle 0=f(x^{*})\quad \Rightarrow \quad x^{*}=0\,}$ 

在新的系統 ${\displaystyle f(x)}$  中，其平衡點為原點。

若系統的平衡點不是原點，可用上述的方式，轉換為另一個平衡點為原點的系統，因此以下的說明中，均假設原點是系統的平衡點。

自治系統的基本李亞普諾夫定理

主条目：李亞普諾夫穩定性

令

${\displaystyle x^{*}=0\,}$ 

為以下自治系統的平衡點

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)\,}$ 

且令

${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {\partial V}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}=\nabla V{\dot {x}}=\nabla Vf(x)}$ 

為李亞普諾夫候選函數${\displaystyle V}$ 的時間導數。

穩定平衡點

若在平衡點的鄰域${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ，李亞普諾夫候選函數${\displaystyle V}$ 為正定，且其時間導數半負定：

${\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq 0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}}$ 

則此平衡點為一穩定的平衡點。

局部漸近穩定平衡點

若在平衡點的鄰域${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ，李亞普諾夫候選函數${\displaystyle V}$ 為正定，且其時間導數為負定：

${\displaystyle V(x)>0,{\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}}$ 

則此平衡點為一局部漸近穩定的平衡點。

全域漸近穩定平衡點

若李亞普諾夫候選函數${\displaystyle V}$ 為全域正定，其時間導數為全域負定：

${\displaystyle V(x)>0,{\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},}$ 

且${\displaystyle V}$ 滿足以下的條件（稱為「徑向無界」 radially unbounded）：

${\displaystyle \|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty }$ .

則此平衡點為一全域漸近穩定的平衡點。

參見

• 常微分方程
• 控制李亞普諾夫函數

參考資料

• 埃里克·韦斯坦因. Lyapunov Function. MathWorld. 
• Khalil, H.K. Nonlinear systems. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ. 1996. 
• 本條目含有来自PlanetMath《Lyapunov function》的內容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。
• 李亞普諾夫穩定性的理論可延伸到許多領域，尤其是隨機微擾的非線性系統: S. P. Meyn and R. L. Tweedie. Markov Chains and Stochastic Stability. London: Springer-Verlag, 1993. ISBN 0-387-19832-6. online: . Second edition to appear, Cambridge University Press, 2009.

外部連結

• 利用李雅普諾夫函數判別常微分方程平衡點穩定性的一些例子